Calcolo Esempi

$e^{x} + e^{- x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} + e^{- x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

Passaggio 1.3.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

Passaggio 1.3.6

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$e^{x} - e^{- x}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} - e^{- x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{- x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = e^{x} - \frac{d}{d x} e^{- x}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$f'' (x) = e^{x} - (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.6

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$f'' (x) = e^{x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

Passaggio 2.3.7

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = e^{x} + e^{- x}$

Passaggio 2.3.8

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = e^{x} + 1 e^{- x}$

Passaggio 2.3.9

Moltiplica $e^{- x}$ per $1$ .

$f'' (x) = e^{x} + e^{- x}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$e^{x} - e^{- x} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} + e^{- x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.1.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.1.3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 4.1.3.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

Passaggio 4.1.3.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

Passaggio 4.1.3.6

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$f' (x) = e^{x} - e^{- x}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $e^{x} - e^{- x}$ .

$e^{x} - e^{- x}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $e^{x} - e^{- x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$e^{x} - e^{- x} = 0$

Passaggio 5.2

Sposta $- e^{- x}$ sul lato destro dell'equazione aggiungendolo a entrambi i lati.

$e^{x} = e^{- x}$

Passaggio 5.3

Poiché le basi sono uguali, allora due espressioni sono uguali solo se anche gli esponenti sono uguali.

$x = - x$

Passaggio 5.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Somma $x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x + x = 0$

Passaggio 5.4.1.2

Somma $x$ e $x$ .

$2 x = 0$

Passaggio 5.4.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 5.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 5.4.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Passaggio 5.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x = 0$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$e^{0} + e^{- (0)}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$1 + e^{- (0)}$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$1 + e^{0}$

Passaggio 9.1.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$1 + 1$

Passaggio 9.2

Somma $1$ e $1$ .

$2$

Passaggio 10

$x = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = e^{0} + e^{- (0)}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f (0) = 1 + e^{- (0)}$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = 1 + e^{0}$

Passaggio 11.2.1.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f (0) = 1 + 1$

Passaggio 11.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$f (0) = 2$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $2$ .

$y = 2$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = e^{x} + e^{- x}$ .

$(0, 2)$ è un minimo locale

Passaggio 13