Calcolo Esempi

$\int 2 x^{2} (2 x + 1) (x - 3) d x$

Passaggio 1

Poiché

$2$ è costante rispetto a

$x$ , sposta

$2$ fuori dall'integrale.

$2 \int (x^{2} (2 x + 1)) (x - 3) d x$

Passaggio 2

Sia

$u_{1} = x - 3$ . Allora

$d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando

$u_{1}$ e

$d$

$u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia

$u_{1} = x - 3$ . Trova

$\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia

$x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di

$x - 3$ rispetto a

$x$ è

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.1.4

Poiché

$- 3$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$- 3$ rispetto a

$x$ è

$0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.1.5

Somma

$1$ e

$0$ .

$1$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando

$u_{1}$ e

$d u_{1}$ .

$2 \int {(u_{1} + 3)}^{2} (2 (u_{1} + 3) + 1) u_{1} d u_{1}$

Passaggio 3

Sia

$u_{2} = u_{1} + 3$ . Allora

$d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando

$u_{2}$ e

$d$

$u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia

$u_{2} = u_{1} + 3$ . Trova

$\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia

$u_{1} + 3$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 3]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di

$u_{1} + 3$ rispetto a

$u_{1}$ è

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è

$n {u_{1}}^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Passaggio 3.1.4

Poiché

$3$ è costante rispetto a

$u_{1}$ , la derivata di

$3$ rispetto a

$u_{1}$ è

$0$ .

$1 + 0$

Passaggio 3.1.5

Somma

$1$ e

$0$ .

$1$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema usando

$u_{2}$ e

$d u_{2}$ .

$2 \int {u_{2}}^{2} (2 u_{2} + 1) (u_{2} - 3) d u_{2}$

Passaggio 4

Sia

$u_{3} = u_{2} - 3$ . Allora

$d u_{3} = d u_{2}$ . Riscrivi usando

$u_{3}$ e

$d$

$u_{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia

$u_{3} = u_{2} - 3$ . Trova

$\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia

$u_{2} - 3$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2} - 3]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di

$u_{2} - 3$ rispetto a

$u_{2}$ è

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 3]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 3]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è

$n {u_{2}}^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{2}} [- 3]$

Passaggio 4.1.4

Poiché

$- 3$ è costante rispetto a

$u_{2}$ , la derivata di

$- 3$ rispetto a

$u_{2}$ è

$0$ .

$1 + 0$

Passaggio 4.1.5

Somma

$1$ e

$0$ .

$1$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando

$u_{3}$ e

$d u_{3}$ .

$2 \int {(u_{3} + 3)}^{2} (2 (u_{3} + 3) + 1) u_{3} d u_{3}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi

${(u_{3} + 3)}^{2}$ come

$(u_{3} + 3) (u_{3} + 3)$ .

$2 \int (u_{3} + 3) (u_{3} + 3) (2 (u_{3} + 3) + 1) u_{3} d u_{3}$

Passaggio 5.2