Calcolo Esempi

$y = \csc^{4} (2 x)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \csc (2 x)$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\csc (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\csc (2 x)$ .

$4 \csc^{3} (2 x) \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$4 \csc^{3} (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.2

La derivata di $\csc (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$4 \csc^{3} (2 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$4 \csc^{3} (2 x) (- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 4 \csc^{3} (2 x) (\csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 4

Eleva $\csc (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$- 4 (\csc^{1} (2 x) \csc^{3} (2 x)) (\cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 4 {\csc (2 x)}^{1 + 3} (\cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 6

Somma $1$ e $3$ .

$- 4 \csc^{4} (2 x) (\cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 7

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \csc^{4} (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$- 8 \csc^{4} (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 8 \csc^{4} (2 x) \cot (2 x) \cdot 1$

Passaggio 10

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$- 8 \csc^{4} (2 x) \cot (2 x)$