Calcolo Esempi

$y = \frac{\cos (m x)}{\sin (n x)}$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{\cos (m x)}{\sin (n x)}$ come un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\cos (m x) \frac{1}{\sin (n x)}]$

Passaggio 2

Scrivi $\cos (m x)$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (m x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (n x)}]$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi $\cos (m x)$ per $1$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (m x) \frac{1}{\sin (n x)}]$

Passaggio 3.2

Converti da $\frac{1}{\sin (n x)}$ a $\csc (n x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (m x) \csc (n x)]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cos (m x)$ e $g (x) = \csc (n x)$ .

$\cos (m x) \frac{d}{d x} [\csc (n x)] + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = n x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $n x$ .

$\cos (m x) (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [n x]) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

Passaggio 5.2

La derivata di $\csc (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$\cos (m x) (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [n x]) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

Passaggio 5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $n x$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) \frac{d}{d x} [n x]) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

Passaggio 6

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poiché $n$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $n x$ rispetto a $x$ è $n \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) (n \frac{d}{d x} [x])) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

Passaggio 6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) (n \cdot 1)) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

Passaggio 6.3

Moltiplica $n$ per $1$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = m x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $m x$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [m x])$

Passaggio 7.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [m x])$

Passaggio 7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $m x$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (m x) \frac{d}{d x} [m x])$

Passaggio 8

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Poiché $m$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $m x$ rispetto a $x$ è $m \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (m x) (m \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 8.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (m x) (m \cdot 1))$

Passaggio 8.3

Moltiplica $m$ per $1$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (m x) m)$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Riordina i termini.

$- n \cos (m x) \cot (n x) \csc (n x) - m \csc (n x) \sin (m x)$

Passaggio 9.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Riscrivi $\cot (n x)$ in termini di seno e coseno.

$- n \cos (m x) \frac{\cos (n x)}{\sin (n x)} \csc (n x) - m \csc (n x) \sin (m x)$

Passaggio 9.2.2

Moltiplica $- n \cos (m x) \frac{\cos (n x)}{\sin (n x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

$\frac{\cos (n x)}{\sin (n x)}$ e $n$ .

$- \frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} \cos (m x) \csc (n x) - m \csc (n x) \sin (m x)$

Passaggio 9.2.2.2

$\cos (m x)$ e $\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)}$ .

$- \frac{\cos (m x) (\cos (n x) n)}{\sin (n x)} \csc (n x) - m \csc (n x) \sin (m x)$

Passaggio 9.2.3

Riscrivi $\csc (n x)$ in termini di seno e coseno.

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x)} \cdot \frac{1}{\sin (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

Passaggio 9.2.4

Moltiplica $- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x)} \cdot \frac{1}{\sin (n x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sin (n x)}$ per $\frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x)}$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x) \sin (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

Passaggio 9.2.4.2

Eleva $\sin (n x)$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{1} (n x) \sin (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

Passaggio 9.2.4.3

Eleva $\sin (n x)$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{1} (n x) \sin^{1} (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

Passaggio 9.2.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{{\sin (n x)}^{1 + 1}} - m \csc (n x) \sin (m x)$

Passaggio 9.2.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{2} (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

Passaggio 9.2.5

Riscrivi $\csc (n x)$ in termini di seno e coseno.

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{2} (n x)} - m \frac{1}{\sin (n x)} \sin (m x)$

Passaggio 9.2.6

$\frac{1}{\sin (n x)}$ e $m$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{2} (n x)} - \frac{m}{\sin (n x)} \sin (m x)$

Passaggio 9.2.7

$\sin (m x)$ e $\frac{m}{\sin (n x)}$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{2} (n x)} - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Passaggio 9.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Scomponi $\sin (n x)$ da $\sin^{2} (n x)$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x) \sin (n x)} - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Passaggio 9.3.2

Frazioni separate.

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} \cdot \frac{\cos (m x)}{\sin (n x)}) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Passaggio 9.3.3

Riscrivi $\frac{\cos (m x)}{\sin (n x)}$ come un prodotto.

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} (\cos (m x) \frac{1}{\sin (n x)})) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Passaggio 9.3.4

Scrivi $\cos (m x)$ come una frazione con denominatore $1$ .

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} (\frac{\cos (m x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (n x)})) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Passaggio 9.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.5.1

Dividi $\cos (m x)$ per $1$ .

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} (\cos (m x) \frac{1}{\sin (n x)})) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Passaggio 9.3.5.2

Converti da $\frac{1}{\sin (n x)}$ a $\csc (n x)$ .

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} (\cos (m x) \csc (n x))) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Passaggio 9.3.6

Frazioni separate.

$- (\frac{n}{1} \cdot \frac{\cos (n x)}{\sin (n x)} (\cos (m x) \csc (n x))) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Passaggio 9.3.7

Converti da $\frac{\cos (n x)}{\sin (n x)}$ a $\cot (n x)$ .

$- (\frac{n}{1} \cot (n x) (\cos (m x) \csc (n x))) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Passaggio 9.3.8

Dividi $n$ per $1$ .

$- (n \cot (n x) (\cos (m x) \csc (n x))) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Passaggio 9.3.9

Frazioni separate.

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} \cdot \frac{\sin (m x)}{\sin (n x)})$

Passaggio 9.3.10

Riscrivi $\frac{\sin (m x)}{\sin (n x)}$ come un prodotto.

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} (\sin (m x) \frac{1}{\sin (n x)}))$

Passaggio 9.3.11

Scrivi $\sin (m x)$ come una frazione con denominatore $1$ .

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} (\frac{\sin (m x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (n x)}))$

Passaggio 9.3.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.12.1

Dividi $\sin (m x)$ per $1$ .

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} (\sin (m x) \frac{1}{\sin (n x)}))$

Passaggio 9.3.12.2

Converti da $\frac{1}{\sin (n x)}$ a $\csc (n x)$ .

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} (\sin (m x) \csc (n x)))$

Passaggio 9.3.13

Dividi $m$ per $1$ .

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - m (\sin (m x) \csc (n x))$

Passaggio 9.4

Riordina i fattori in $- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - m (\sin (m x) \csc (n x))$ .

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - m \sin (m x) \csc (n x)$