Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x^{2} \sin (x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x^{2}$ e $d v = \sin (x)$ .

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) (2 x) d x$

Passaggio 2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - 2 \cos (x) x d x$

Passaggio 3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) x d x)$

Passaggio 4

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) x d x$

Passaggio 5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \cos (x)$ .

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + 2 (x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) d x)$

Passaggio 6

L'integrale di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \cos (x)$ .

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + 2 (x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}))$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.1

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.1.1

Calcola $x^{2} (- \cos (x))$ per $\frac{π}{2}$ e per $0$ .

$({(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2}))) - 0^{2} (- \cos (0)) + 2 (x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}))$

Passaggio 7.1.2

Calcola $x \sin (x)$ per $\frac{π}{2}$ e per $0$ .

$({(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2}))) - 0^{2} (- \cos (0)) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}))$

Passaggio 7.1.3

Calcola $- \cos (x)$ per $\frac{π}{2}$ e per $0$ .

$({(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2}))) - 0^{2} (- \cos (0)) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Passaggio 7.1.4

Semplifica.

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Passaggio 7.1.4.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) - 0 (- \cos (0)) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Passaggio 7.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 0 (- \cos (0)) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Passaggio 7.1.4.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 0 \cos (0) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Passaggio 7.1.4.4

Moltiplica $0$ per $\cos (0)$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 0 + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Passaggio 7.1.4.5

Somma ${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2}))$ e $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Passaggio 7.1.4.6

$\frac{π}{2}$ e $\sin (\frac{π}{2})$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Passaggio 7.1.4.7

Moltiplica $0$ per $\sin (0)$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + 0 - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Passaggio 7.1.4.8

Somma $\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2}$ e $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Passaggio 7.1.4.9

Per scrivere $- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} - (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot \frac{2}{2})$

Passaggio 7.1.4.10

$- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ e $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 2}{2})$

Passaggio 7.1.4.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 \frac{π \sin (\frac{π}{2}) - (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 2}{2}$

Passaggio 7.1.4.12

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 \frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2}$

Passaggio 7.1.4.13

$2$ e $\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2}$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \frac{2 (π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)))}{2}$

Passaggio 7.1.4.14

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.1.4.14.1

Elimina il fattore comune.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \frac{2 (π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)))}{2}$

Passaggio 7.1.4.14.2

Dividi $π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ per $1$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$

Passaggio 7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- 0) + π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$

Passaggio 7.2.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- 0) + π \cdot 1 - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$

Passaggio 7.2.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- 0) + π \cdot 1 - 2 (- 0 + \cos (0))$

Passaggio 7.2.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- 0) + π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)$

Passaggio 7.2.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} \cdot 0 + π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)$

Passaggio 7.2.6

Moltiplica ${(\frac{π}{2})}^{2}$ per $0$ .

$0 + π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)$

Passaggio 7.2.7

Moltiplica $π$ per $1$ .

$0 + π - 2 (- 0 + 1)$

Passaggio 7.2.8

Somma $0$ e $π$ .

$π - 2 (- 0 + 1)$

Passaggio 7.2.9

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$π - 2 (0 + 1)$

Passaggio 7.2.10

Somma $0$ e $1$ .

$π - 2 \cdot 1$

Passaggio 7.2.11

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$π - 2$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$π - 2$

Forma decimale:

$1.14159265 \dots$