Calcolo Esempi

$1 + \cos^{2} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $1 + \cos^{2} (x)$ come funzione.

$f (x) = 1 + \cos^{2} (x)$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int 1 + \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d x + \int \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 5

Applica la regola costante.

$x + C + \int \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 6

Usa la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (x)$ come $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$x + C + \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$x + C + \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Passaggio 8

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$x + C + \frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

Passaggio 9

Applica la regola costante.

$x + C + \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

Passaggio 10

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 10.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 10.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 10.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 10.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$x + C + \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 11

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$x + C + \frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 12

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$x + C + \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Passaggio 13

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$x + C + \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Passaggio 14

Semplifica.

$x + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Passaggio 15

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$x + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Passaggio 16

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

$\frac{1}{2}$ e $\sin (2 x)$ .

$x + \frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Passaggio 16.2

Applica la proprietà distributiva.

$x + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Passaggio 16.3

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$x + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Passaggio 16.4

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.4.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$x + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 16.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Passaggio 17

Riordina i termini.

$x + \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Passaggio 18

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = 1 + \cos^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $x + \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$