Calcolo Esempi

$\int (3 \sec (6 x) \tan (6 x) - 5 x \csc^{2} (2 x^{2})) d x$

Passaggio 1

Rimuovi le parentesi.

$\int 3 \sec (6 x) \tan (6 x) - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 3 \sec (6 x) \tan (6 x) d x + \int - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

Passaggio 3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int \sec (6 x) \tan (6 x) d x + \int - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

Passaggio 4

Sia $u_{2} = \sec (6 x)$ . Allora $d u_{2} = 6 \sec (6 x) \tan (6 x) d x$ , quindi $\frac{1}{6} d u_{2} = \sec (6 x) \tan (6 x) d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u_{2} = \sec (6 x)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $\sec (6 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (6 x)]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $6 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x]$

Passaggio 4.1.2.2

La derivata di $\sec (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x]$

Passaggio 4.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $6 x$ .

$\sec (6 x) \tan (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (6 x) \tan (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\sec (6 x) \tan (6 x) (6 \cdot 1)$

Passaggio 4.1.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1

Moltiplica $6$ per $1$ .

$\sec (6 x) \tan (6 x) \cdot 6$

Passaggio 4.1.3.3.2

Sposta $6$ alla sinistra di $\sec (6 x) \tan (6 x)$ .

$6 \sec (6 x) \tan (6 x)$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$3 \int \frac{1}{6} d u_{2} + \int - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

Passaggio 5

Applica la regola costante.

$3 (\frac{1}{6} u_{2} + C) + \int - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

Passaggio 6

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 5$ fuori dall'integrale.

$3 (\frac{1}{6} u_{2} + C) - 5 \int x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

Passaggio 7

Sia $u_{3} = 2 x^{2}$ . Allora $d u_{3} = 4 x d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u_{3} = x d x$ . Riscrivi usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sia $u_{3} = 2 x^{2}$ . Trova $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Differenzia $2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Passaggio 7.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 7.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (2 x)$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$3 (\frac{1}{6} u_{2} + C) - 5 \int \csc^{2} (u_{3}) \frac{1}{4} d u_{3}$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

$\frac{1}{6}$ e $u_{2}$ .

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - 5 \int \csc^{2} (u_{3}) \frac{1}{4} d u_{3}$

Passaggio 8.2

$\csc^{2} (u_{3})$ e $\frac{1}{4}$ .

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - 5 \int \frac{\csc^{2} (u_{3})}{4} d u_{3}$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u_{3}$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - 5 (\frac{1}{4} \int \csc^{2} (u_{3}) d u_{3})$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

$\frac{1}{4}$ e $- 5$ .

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) + \frac{- 5}{4} \int \csc^{2} (u_{3}) d u_{3}$

Passaggio 10.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - \frac{5}{4} \int \csc^{2} (u_{3}) d u_{3}$

Passaggio 11

Poiché la derivata di $- \cot (u_{3})$ è $\csc^{2} (u_{3})$ , l'integrale di $\csc^{2} (u_{3})$ è $- \cot (u_{3})$ .

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - \frac{5}{4} (- \cot (u_{3}) + C)$

Passaggio 12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Semplifica.

$\frac{u_{2}}{2} - \frac{5}{4} (- \cot (u_{3})) + C$

Passaggio 12.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{u_{2}}{2} + 1 (\frac{5}{4}) \cot (u_{3}) + C$

Passaggio 12.2.2

Moltiplica $\frac{5}{4}$ per $1$ .

$\frac{u_{2}}{2} + \frac{5}{4} \cot (u_{3}) + C$

Passaggio 12.2.3

$\frac{5}{4}$ e $\cot (u_{3})$ .

$\frac{u_{2}}{2} + \frac{5 \cot (u_{3})}{4} + C$

Passaggio 13

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sec (6 x)$ .

$\frac{\sec (6 x)}{2} + \frac{5 \cot (u_{3})}{4} + C$

Passaggio 13.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $2 x^{2}$ .

$\frac{\sec (6 x)}{2} + \frac{5 \cot (2 x^{2})}{4} + C$

Passaggio 14

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} \sec (6 x) + \frac{5}{4} \cot (2 x^{2}) + C$