Calcolo Esempi

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 3$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 4 x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 + 0$

Passaggio 1.5.2

Somma $4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4$ e $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 12$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 4 + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 4 + 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $12 x^{2} - 24 x + 4$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 4$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 4.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 4.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 4.1.4.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 4.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 + 0$

Passaggio 4.1.5.2

Somma $4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $4$ da $4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $4$ da $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 12 x^{2} + 4 x + 4 = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Scomponi $4$ da $- 12 x^{2}$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 3 x^{2}) + 4 x + 4 = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Scomponi $4$ da $4 x$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 3 x^{2}) + 4 (x) + 4 = 0$

Passaggio 5.2.1.4

Scomponi $4$ da $4$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 3 x^{2}) + 4 (x) + 4 (1) = 0$

Passaggio 5.2.1.5

Scomponi $4$ da $4 (x^{3}) + 4 (- 3 x^{2})$ .

$4 (x^{3} - 3 x^{2}) + 4 (x) + 4 (1) = 0$

Passaggio 5.2.1.6

Scomponi $4$ da $4 (x^{3} - 3 x^{2}) + 4 (x)$ .

$4 (x^{3} - 3 x^{2} + x) + 4 (1) = 0$

Passaggio 5.2.1.7

Scomponi $4$ da $4 (x^{3} - 3 x^{2} + x) + 4 (1)$ .

$4 (x^{3} - 3 x^{2} + x + 1) = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $x^{3} - 3 x^{2} + x + 1$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Passaggio 5.2.2.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1$

Passaggio 5.2.2.1.3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 1 + 1$

Passaggio 5.2.2.1.3.2

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$1 - 3 \cdot 1^{2} + 1 + 1$

Passaggio 5.2.2.1.3.3

Eleva $1$ alla potenza di $2$ .

$1 - 3 \cdot 1 + 1 + 1$

Passaggio 5.2.2.1.3.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$1 - 3 + 1 + 1$

Passaggio 5.2.2.1.3.5

Sottrai $3$ da $1$ .

$- 2 + 1 + 1$

Passaggio 5.2.2.1.3.6

Somma $- 2$ e $1$ .

$- 1 + 1$

Passaggio 5.2.2.1.3.7

Somma $- 1$ e $1$ .

$0$

Passaggio 5.2.2.1.4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + x + 1}{x - 1}$

Passaggio 5.2.2.1.5

Dividi $x^{3} - 3 x^{2} + x + 1$ per $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

Passaggio 5.2.2.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$

Passaggio 5.2.2.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 5.2.2.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 5.2.2.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Passaggio 5.2.2.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$

Passaggio 5.2.2.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$

Passaggio 5.2.2.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Passaggio 5.2.2.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x^{2} + 2 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Passaggio 5.2.2.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$x$

Passaggio 5.2.2.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$x$	+	$1$

Passaggio 5.2.2.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$x$	+	$1$

Passaggio 5.2.2.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$x$	+	$1$
							-	$x$	+	$1$

Passaggio 5.2.2.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x + 1$

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$x$	+	$1$
							+	$x$	-	$1$

Passaggio 5.2.2.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$x$	+	$1$
							+	$x$	-	$1$
										$0$

Passaggio 5.2.2.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 2 x - 1$

Passaggio 5.2.2.1.6

Scrivi $x^{3} - 3 x^{2} + x + 1$ come insieme di fattori.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 2 x - 1)) = 0$

Passaggio 5.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 (x - 1) (x^{2} - 2 x - 1) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 5.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 5.5

Imposta $x^{2} - 2 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $x^{2} - 2 x - 1$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 5.5.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = - 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.2.3.1.3

Somma $4$ e $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.2.3.1.4

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1.4.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.2.3.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.2.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 5.5.2.3.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Passaggio 5.5.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.4.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.2.4.1.3

Somma $4$ e $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.2.4.1.4

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.4.1.4.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.2.4.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.2.4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 5.5.2.4.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Passaggio 5.5.2.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = 1 + \sqrt{2}$

Passaggio 5.5.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.5.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.2.5.1.3

Somma $4$ e $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.2.5.1.4

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.5.1.4.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.2.5.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.2.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 5.5.2.5.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Passaggio 5.5.2.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = 1 - \sqrt{2}$

Passaggio 5.5.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 (x - 1) (x^{2} - 2 x - 1) = 0$ vera.

$x = 1, 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 1, 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 4$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$12 \cdot 1 - 24 \cdot 1 + 4$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $12$ per $1$ .

$12 - 24 \cdot 1 + 4$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $- 24$ per $1$ .

$12 - 24 + 4$

Passaggio 9.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Sottrai $24$ da $12$ .

$- 12 + 4$

Passaggio 9.2.2

Somma $- 12$ e $4$ .

$- 8$

Passaggio 10

$x = 1$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = {(1)}^{4} - 4 {(1)}^{3} + 2 {(1)}^{2} + 4 (1) - 3$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 1 - 4 {(1)}^{3} + 2 {(1)}^{2} + 4 (1) - 3$

Passaggio 11.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 1 - 4 \cdot 1 + 2 {(1)}^{2} + 4 (1) - 3$

Passaggio 11.2.1.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f (1) = 1 - 4 + 2 {(1)}^{2} + 4 (1) - 3$

Passaggio 11.2.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 1 - 4 + 2 \cdot 1 + 4 (1) - 3$

Passaggio 11.2.1.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (1) = 1 - 4 + 2 + 4 (1) - 3$

Passaggio 11.2.1.6

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f (1) = 1 - 4 + 2 + 4 - 3$

Passaggio 11.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Sottrai $4$ da $1$ .

$f (1) = - 3 + 2 + 4 - 3$

Passaggio 11.2.2.2

Somma $- 3$ e $2$ .

$f (1) = - 1 + 4 - 3$

Passaggio 11.2.2.3

Somma $- 1$ e $4$ .

$f (1) = 3 - 3$

Passaggio 11.2.2.4

Sottrai $3$ da $3$ .

$f (1) = 0$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 1 + \sqrt{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 {(1 + \sqrt{2})}^{2} - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Riscrivi ${(1 + \sqrt{2})}^{2}$ come $(1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})$ .

$12 ((1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 13.1.2

Espandi $(1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$12 (1 (1 + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (1 + \sqrt{2})) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 13.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$12 (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} (1 + \sqrt{2})) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 13.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$12 (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 13.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.3.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$12 (1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 13.1.3.1.2

Moltiplica $\sqrt{2}$ per $1$ .

$12 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 13.1.3.1.3

Moltiplica $\sqrt{2}$ per $1$ .

$12 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 13.1.3.1.4

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$12 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 13.1.3.1.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$12 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{4}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 13.1.3.1.6

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$12 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 13.1.3.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$12 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 2) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 13.1.3.2

Somma $1$ e $2$ .

$12 (3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 13.1.3.3

Somma $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$12 (3 + 2 \sqrt{2}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 13.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$12 \cdot 3 + 12 (2 \sqrt{2}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 13.1.5

Moltiplica $12$ per $3$ .

$36 + 12 (2 \sqrt{2}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 13.1.6

Moltiplica $2$ per $12$ .

$36 + 24 \sqrt{2} - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 13.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$36 + 24 \sqrt{2} - 24 \cdot 1 - 24 \sqrt{2} + 4$

Passaggio 13.1.8

Moltiplica $- 24$ per $1$ .

$36 + 24 \sqrt{2} - 24 - 24 \sqrt{2} + 4$

Passaggio 13.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Sottrai $24$ da $36$ .

$12 + 24 \sqrt{2} - 24 \sqrt{2} + 4$

Passaggio 13.2.2

Somma $12$ e $4$ .

$16 + 24 \sqrt{2} - 24 \sqrt{2}$

Passaggio 13.2.3

Sottrai $24 \sqrt{2}$ da $24 \sqrt{2}$ .

$16 + 0$

Passaggio 13.2.4

Somma $16$ e $0$ .

$16$

Passaggio 14

$x = 1 + \sqrt{2}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1 + \sqrt{2}$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = 1 + \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1 + \sqrt{2}$ nell'espressione.

$f (1 + \sqrt{2}) = {(1 + \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Usa il teorema binomiale.

$f (1 + \sqrt{2}) = 1^{4} + 4 \cdot (1^{3} \sqrt{2}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \cdot (1^{3} \sqrt{2}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \cdot (1 \sqrt{2}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.2.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.2.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 6 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.2.5

Moltiplica $6$ per $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 6 {\sqrt{2}}^{2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.2.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 6 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.2.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 6 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 6 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 6 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 6 \cdot 2 + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.2.6.5

Calcola l'esponente.

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 6 \cdot 2 + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.2.7

Moltiplica $6$ per $2$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.2.8

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 4 {\sqrt{2}}^{3} + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.2.9

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{3}$ come $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 4 \sqrt{2^{3}} + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.2.10

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 4 \sqrt{8} + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.2.11

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.2.11.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 4 \sqrt{4 (2)} + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.2.11.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 4 \sqrt{2^{2} \cdot 2} + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.2.12

Estrai i termini dal radicale.

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 4 (2 \sqrt{2}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.2.13

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 8 \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.2.14

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{4}$ come $2^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.2.14.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 8 \sqrt{2} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.2.14.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.2.14.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{4}{2}} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.2.14.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.2.14.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.2.14.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.2.14.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.2.14.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.2.14.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{1}} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.2.14.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 8 \sqrt{2} + 2^{2} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.2.15

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 8 \sqrt{2} + 4 - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.3

Somma $1$ e $12$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 13 + 4 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} + 4 - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.4

Somma $13$ e $4$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 4 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.5

Somma $4 \sqrt{2}$ e $8 \sqrt{2}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.6

Usa il teorema binomiale.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1^{3} + 3 \cdot (1^{2} \sqrt{2}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{2}) + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.7.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \cdot (1^{2} \sqrt{2}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{2}) + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.7.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \cdot (1 \sqrt{2}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{2}) + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.7.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 3 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{2}) + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.7.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{2} + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.7.5

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.7.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.7.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.7.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.7.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.7.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.7.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 3 \cdot 2 + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.7.5.5

Calcola l'esponente.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 3 \cdot 2 + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.7.6

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 6 + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.7.7

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{3}$ come $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 6 + \sqrt{2^{3}}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.7.8

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 6 + \sqrt{8}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.7.9

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.7.9.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 6 + \sqrt{4 (2)}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.7.9.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 6 + \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.7.10

Estrai i termini dal radicale.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 6 + 2 \sqrt{2}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.8

Somma $1$ e $6$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (7 + 3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.9

Somma $3 \sqrt{2}$ e $2 \sqrt{2}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (7 + 5 \sqrt{2}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.10

Applica la proprietà distributiva.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 \cdot 7 - 4 (5 \sqrt{2}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.11

Moltiplica $- 4$ per $7$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 4 (5 \sqrt{2}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.12

Moltiplica $5$ per $- 4$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.13

Riscrivi ${(1 + \sqrt{2})}^{2}$ come $(1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 ((1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.14

Espandi $(1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.14.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (1 (1 + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (1 + \sqrt{2})) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.14.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} (1 + \sqrt{2})) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.14.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.15

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.15.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.15.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.15.1.2

Moltiplica $\sqrt{2}$ per $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.15.1.3

Moltiplica $\sqrt{2}$ per $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.15.1.4

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.15.1.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{4}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.15.1.6

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.15.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 2) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.15.2

Somma $1$ e $2$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.15.3

Somma $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (3 + 2 \sqrt{2}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.16

Applica la proprietà distributiva.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 \cdot 3 + 2 (2 \sqrt{2}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.17

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 6 + 2 (2 \sqrt{2}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.18

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 6 + 4 \sqrt{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 15.2.1.19

Applica la proprietà distributiva.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 6 + 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 1 + 4 \sqrt{2} - 3$

Passaggio 15.2.1.20

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 6 + 4 \sqrt{2} + 4 + 4 \sqrt{2} - 3$

Passaggio 15.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Sottrai $28$ da $17$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = - 11 + 12 \sqrt{2} - 20 \sqrt{2} + 6 + 4 \sqrt{2} + 4 + 4 \sqrt{2} - 3$

Passaggio 15.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.2.1

Somma $- 11$ e $6$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = - 5 + 12 \sqrt{2} - 20 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 + 4 \sqrt{2} - 3$

Passaggio 15.2.2.2.2

Somma $- 5$ e $4$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = - 1 + 12 \sqrt{2} - 20 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 3$

Passaggio 15.2.2.2.3

Sottrai $3$ da $- 1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = - 4 + 12 \sqrt{2} - 20 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2}$

Passaggio 15.2.2.3

Sottrai $20 \sqrt{2}$ da $12 \sqrt{2}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = - 4 - 8 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2}$

Passaggio 15.2.2.4

Somma $- 8 \sqrt{2}$ e $4 \sqrt{2}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = - 4 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2}$

Passaggio 15.2.2.5

Somma $- 4 \sqrt{2}$ e $4 \sqrt{2}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = - 4 + 0$

Passaggio 15.2.2.6

Somma $- 4$ e $0$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = - 4$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $- 4$ .

$y = - 4$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $x = 1 - \sqrt{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 {(1 - \sqrt{2})}^{2} - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Riscrivi ${(1 - \sqrt{2})}^{2}$ come $(1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})$ .

$12 ((1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 17.1.2

Espandi $(1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$12 (1 (1 - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (1 - \sqrt{2})) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 17.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$12 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (1 - \sqrt{2})) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 17.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$12 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 17.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.3.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$12 (1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 17.1.3.1.2

Moltiplica $- \sqrt{2}$ per $1$ .

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 17.1.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 17.1.3.1.4

Moltiplica $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.3.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 17.1.3.1.4.2

Moltiplica $\sqrt{2}$ per $1$ .

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 17.1.3.1.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 17.1.3.1.4.4

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 17.1.3.1.4.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 17.1.3.1.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{2}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 17.1.3.1.5

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 17.1.3.1.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 17.1.3.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 17.1.3.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.3.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 17.1.3.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{1}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 17.1.3.1.5.5

Calcola l'esponente.

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 17.1.3.2

Somma $1$ e $2$ .

$12 (3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 17.1.3.3

Sottrai $\sqrt{2}$ da $- \sqrt{2}$ .

$12 (3 - 2 \sqrt{2}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 17.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$12 \cdot 3 + 12 (- 2 \sqrt{2}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 17.1.5

Moltiplica $12$ per $3$ .

$36 + 12 (- 2 \sqrt{2}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 17.1.6

Moltiplica $- 2$ per $12$ .

$36 - 24 \sqrt{2} - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 17.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$36 - 24 \sqrt{2} - 24 \cdot 1 - 24 (- \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 17.1.8

Moltiplica $- 24$ per $1$ .

$36 - 24 \sqrt{2} - 24 - 24 (- \sqrt{2}) + 4$

Passaggio 17.1.9

Moltiplica $- 1$ per $- 24$ .

$36 - 24 \sqrt{2} - 24 + 24 \sqrt{2} + 4$

Passaggio 17.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1

Sottrai $24$ da $36$ .

$12 - 24 \sqrt{2} + 24 \sqrt{2} + 4$

Passaggio 17.2.2

Somma $12$ e $4$ .

$16 - 24 \sqrt{2} + 24 \sqrt{2}$

Passaggio 17.2.3

Somma $- 24 \sqrt{2}$ e $24 \sqrt{2}$ .

$16 + 0$

Passaggio 17.2.4

Somma $16$ e $0$ .

$16$

Passaggio 18

$x = 1 - \sqrt{2}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1 - \sqrt{2}$ è un minimo locale

Passaggio 19

Trova il valore di y quando $x = 1 - \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1 - \sqrt{2}$ nell'espressione.

$f (1 - \sqrt{2}) = {(1 - \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.1

Usa il teorema binomiale.

$f (1 - \sqrt{2}) = 1^{4} + 4 \cdot (1^{3} (- \sqrt{2})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{2})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 + 4 \cdot (1^{3} (- \sqrt{2})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{2})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 + 4 \cdot (1 (- \sqrt{2})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{2})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.2.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 + 4 (- \sqrt{2}) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{2})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{2})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.2.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.2.6

Moltiplica $6$ per $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 {(- \sqrt{2})}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.2.7

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{2}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.2.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 (1 {\sqrt{2}}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.2.9

Moltiplica ${\sqrt{2}}^{2}$ per $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 {\sqrt{2}}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.2.10

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.2.10.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.2.10.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.2.10.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.2.10.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.2.10.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.2.10.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 \cdot 2 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.2.10.5

Calcola l'esponente.

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 \cdot 2 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.2.11

Moltiplica $6$ per $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.2.12

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 + 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.2.13

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{2}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 + 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.2.14

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 + 4 (- {\sqrt{2}}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.2.15

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{3}$ come $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 + 4 (- \sqrt{2^{3}}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.2.16

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 + 4 (- \sqrt{8}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.2.17

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.2.17.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 + 4 (- \sqrt{4 (2)}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.2.17.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 + 4 (- \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.2.18

Estrai i termini dal radicale.

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 + 4 (- (2 \sqrt{2})) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.2.19

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 + 4 (- 2 \sqrt{2}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.2.20

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.2.21

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{2}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + {(- 1)}^{4} {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.2.22

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + 1 {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.2.23

Moltiplica ${\sqrt{2}}^{4}$ per $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.2.24

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{4}$ come $2^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.2.24.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.2.24.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.2.24.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{4}{2}} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.2.24.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.2.24.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.2.24.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.2.24.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.2.24.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.2.24.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{1}} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.2.24.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + 2^{2} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.2.25

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + 4 - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.3

Somma $1$ e $12$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 13 - 4 \sqrt{2} - 8 \sqrt{2} + 4 - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.4

Somma $13$ e $4$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 4 \sqrt{2} - 8 \sqrt{2} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.5

Sottrai $8 \sqrt{2}$ da $- 4 \sqrt{2}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.6

Usa il teorema binomiale.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1^{3} + 3 \cdot (1^{2} (- \sqrt{2})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{2}) + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.7.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \cdot (1^{2} (- \sqrt{2})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{2}) + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.7.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \cdot (1 (- \sqrt{2})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{2}) + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.7.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 (- \sqrt{2}) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{2}) + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.7.4

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{2}) + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.7.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 {(- \sqrt{2})}^{2} + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.7.6

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{2}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.7.7

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 (1 {\sqrt{2}}^{2}) + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.7.8

Moltiplica ${\sqrt{2}}^{2}$ per $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{2} + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.7.9

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.7.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.7.9.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.7.9.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.7.9.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.7.9.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.7.9.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 \cdot 2 + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.7.9.5

Calcola l'esponente.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 \cdot 2 + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.7.10

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 6 + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.7.11

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{2}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 6 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.7.12

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 6 - {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.7.13

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{3}$ come $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 6 - \sqrt{2^{3}}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.7.14

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 6 - \sqrt{8}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.7.15

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.7.15.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 6 - \sqrt{4 (2)}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.7.15.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 6 - \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.7.16

Estrai i termini dal radicale.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 6 - (2 \sqrt{2})) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.7.17

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 6 - 2 \sqrt{2}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.8

Somma $1$ e $6$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (7 - 3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.9

Sottrai $2 \sqrt{2}$ da $- 3 \sqrt{2}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (7 - 5 \sqrt{2}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.10

Applica la proprietà distributiva.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 \cdot 7 - 4 (- 5 \sqrt{2}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.11

Moltiplica $- 4$ per $7$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 - 4 (- 5 \sqrt{2}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.12

Moltiplica $- 5$ per $- 4$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.13

Riscrivi ${(1 - \sqrt{2})}^{2}$ come $(1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 ((1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.14

Espandi $(1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.14.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 (1 - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (1 - \sqrt{2})) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.14.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (1 - \sqrt{2})) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.14.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.15

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.15.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.15.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.15.1.2

Moltiplica $- \sqrt{2}$ per $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.15.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.15.1.4

Moltiplica $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.15.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.15.1.4.2

Moltiplica $\sqrt{2}$ per $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.15.1.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.15.1.4.4

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.15.1.4.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.15.1.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.15.1.5

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.15.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.15.1.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.15.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.15.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.15.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.15.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.15.1.5.5

Calcola l'esponente.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.15.2

Somma $1$ e $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.15.3

Sottrai $\sqrt{2}$ da $- \sqrt{2}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (3 - 2 \sqrt{2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.16

Applica la proprietà distributiva.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 \cdot 3 + 2 (- 2 \sqrt{2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.17

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 6 + 2 (- 2 \sqrt{2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.18

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 6 - 4 \sqrt{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.19

Applica la proprietà distributiva.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 6 - 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 1 + 4 (- \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.20

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 6 - 4 \sqrt{2} + 4 + 4 (- \sqrt{2}) - 3$

Passaggio 19.2.1.21

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 6 - 4 \sqrt{2} + 4 - 4 \sqrt{2} - 3$

Passaggio 19.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.2.1

Sottrai $28$ da $17$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = - 11 - 12 \sqrt{2} + 20 \sqrt{2} + 6 - 4 \sqrt{2} + 4 - 4 \sqrt{2} - 3$

Passaggio 19.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.2.2.1

Somma $- 11$ e $6$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = - 5 - 12 \sqrt{2} + 20 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 - 4 \sqrt{2} - 3$

Passaggio 19.2.2.2.2

Somma $- 5$ e $4$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = - 1 - 12 \sqrt{2} + 20 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 3$

Passaggio 19.2.2.2.3

Sottrai $3$ da $- 1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = - 4 - 12 \sqrt{2} + 20 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}$

Passaggio 19.2.2.3

Somma $- 12 \sqrt{2}$ e $20 \sqrt{2}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = - 4 + 8 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}$

Passaggio 19.2.2.4

Sottrai $4 \sqrt{2}$ da $8 \sqrt{2}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = - 4 + 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}$

Passaggio 19.2.2.5

Sottrai $4 \sqrt{2}$ da $4 \sqrt{2}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = - 4 + 0$

Passaggio 19.2.2.6

Somma $- 4$ e $0$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = - 4$

Passaggio 19.2.3

La risposta finale è $- 4$ .

$y = - 4$

Passaggio 20

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 3$ .

$(1, 0)$ è un massimo locale

$(1 + \sqrt{2}, - 4)$ è un minimo locale

$(1 - \sqrt{2}, - 4)$ è un minimo locale

Passaggio 21