Calcolo Esempi

$x y' - 2 y = 2$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale.

$x \frac{d y}{d x} - 2 y = 2$

Passaggio 2

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Somma $2 y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d y}{d x} = 2 + 2 y$

Passaggio 2.1.2

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} = 2 + 2 y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} = 2 + 2 y$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{2}{x} + \frac{2 y}{x}$

Passaggio 2.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{2}{x} + \frac{2 y}{x}$

Passaggio 2.1.2.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{2 y}{x}$

Passaggio 2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + 2 y}{x}$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $2$ da $2 + 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1 + 2 y}{x}$

Passaggio 2.2.2.2

Scomponi $2$ da $2 \cdot 1 + 2 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot (1 + y)}{x}$

Passaggio 2.2.2.3

Moltiplica $2$ per $1 + y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (1 + y)}{x}$

Passaggio 2.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{1 + y}$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} \cdot \frac{2 (1 + y)}{x}$

Passaggio 2.4

Elimina il fattore comune di $1 + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Scomponi $1 + y$ da $2 (1 + y)$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} \cdot \frac{(1 + y) \cdot 2}{x}$

Passaggio 2.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} \cdot \frac{(1 + y) \cdot 2}{x}$

Passaggio 2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{x}$

Passaggio 2.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{2}{x} d x$

Passaggio 3

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int \frac{2}{x} d x$

Passaggio 3.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sia $u = 1 + y$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Sia $u = 1 + y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Differenzia $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Passaggio 3.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 3.2.1.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 3.2.1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 3.2.1.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 3.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{2}{x} d x$

Passaggio 3.2.2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + y$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

Passaggio 3.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.3.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Passaggio 3.3.3

Semplifica.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 3.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| 1 + y |) = 2 \ln (| x |) + C$

Passaggio 4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| 1 + y |) - 2 \ln (| x |) = C$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica $\ln (| 1 + y |) - 2 \ln (| x |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Semplifica $- 2 \ln (| x |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\ln (| 1 + y |) - \ln ({| x |}^{2}) = C$

Passaggio 4.2.1.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\ln (| 1 + y |) - \ln (x^{2}) = C$

Passaggio 4.2.1.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + y |}{x^{2}}) = C$

Passaggio 4.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| 1 + y |}{x^{2}})} = e^{C}$

Passaggio 4.4

Riscrivi $\ln (\frac{| 1 + y |}{x^{2}}) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| 1 + y |}{x^{2}}$

Passaggio 4.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| 1 + y |}{x^{2}} = e^{C}$ .

$\frac{| 1 + y |}{x^{2}} = e^{C}$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica ogni lato per $x^{2}$ .

$\frac{| 1 + y |}{x^{2}} x^{2} = e^{C} x^{2}$

Passaggio 4.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| 1 + y |}{x^{2}} x^{2} = e^{C} x^{2}$

Passaggio 4.5.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| 1 + y | = e^{C} x^{2}$

Passaggio 4.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.2.1

Riordina i fattori in $e^{C} x^{2}$ .

$| 1 + y | = x^{2} e^{C}$

Passaggio 4.5.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.4.1

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$1 + y = \pm x^{2} e^{C}$

Passaggio 4.5.4.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = \pm x^{2} e^{C} - 1$

Passaggio 5

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm x^{2} C - 1$

Passaggio 5.2

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C x^{2} - 1$