Calcolo Esempi

$x^{5} e^{- 3 \ln (x)}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = e^{- 3 \ln (x)}$ .

$x^{5} \frac{d}{d x} [e^{- 3 \ln (x)}] + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 3 \ln (x)$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 3 \ln (x)$ .

$x^{5} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x^{5} (e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 3 \ln (x)$ .

$x^{5} (e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 3

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 \ln (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$x^{5} (e^{- 3 \ln (x)} (- 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)])) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 4

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} (e^{- 3 \ln (x)} (- 3 \frac{1}{x})) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 5.1

$- 3$ e $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} (e^{- 3 \ln (x)} \frac{- 3}{x}) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 5.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 5.2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{5} (e^{- 3 \ln (x)} (- \frac{3}{x})) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 5.2.2

$e^{- 3 \ln (x)}$ e $\frac{3}{x}$ .

$x^{5} (- \frac{e^{- 3 \ln (x)} \cdot 3}{x}) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 5.2.3

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{- 3 \ln (x)}$ .

$x^{5} (- \frac{3 \cdot e^{- 3 \ln (x)}}{x}) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 5.2.4

$x^{5}$ e $\frac{3 e^{- 3 \ln (x)}}{x}$ .

$- \frac{x^{5} (3 e^{- 3 \ln (x)})}{x} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 5.2.5

Elimina il fattore comune di $x^{5}$ e $x$ .

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Passaggio 5.2.5.1

Scomponi $x$ da $x^{5} (3 e^{- 3 \ln (x)})$ .

$- \frac{x (x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)}))}{x} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 5.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.2.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{x (x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)}))}{x^{1}} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 5.2.5.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$- \frac{x (x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)}))}{x \cdot 1} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 5.2.5.2.3

Elimina il fattore comune.

$- \frac{x (x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)}))}{x \cdot 1} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 5.2.5.2.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)})}{1} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 5.2.5.2.5

Dividi $x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)})$ per $1$ .

$- (x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)})) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 5.2.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 (x^{4} (e^{- 3 \ln (x)})) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 5.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$- 3 x^{4} e^{- 3 \ln (x)} + e^{- 3 \ln (x)} (5 x^{4})$

Passaggio 6

Somma $- 3 x^{4} e^{- 3 \ln (x)}$ e $e^{- 3 \ln (x)} (5 x^{4})$ .

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Passaggio 6.1

Sposta $e^{- 3 \ln (x)}$ .

$- 3 x^{4} e^{- 3 \ln (x)} + 5 x^{4} e^{- 3 \ln (x)}$

Passaggio 6.2

Somma $- 3 x^{4} e^{- 3 \ln (x)}$ e $5 x^{4} e^{- 3 \ln (x)}$ .

$2 x^{4} e^{- 3 \ln (x)}$