Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{\sqrt{8 - 2 x - x^{2}}} d x$

Passaggio 1

Riscrivi $8$ come $9$ più $- 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - 1 - 2 x - x^{2}}} d x$

Passaggio 2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (1^{2} + 2 x + x^{2})}} d x$

Passaggio 2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

Passaggio 2.3

Riscrivi il polinomio.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2})}} d x$

Passaggio 2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = 1$ e $b = x$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - {(1 + x)}^{2}}} d x$

Passaggio 3

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{2} - {(1 + x)}^{2}}} d x$

Passaggio 4

Sia $u = 1 + x$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = 1 + x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 4.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

Passaggio 5

L'integrale di $\frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}}$ rispetto a $u$ è $\arcsin (\frac{u}{3})$ .

$\arcsin (\frac{u}{3}) + C$

Passaggio 6

Riscrivi $\arcsin (\frac{u}{3}) + C$ come $\arcsin (\frac{1}{3} u) + C$ .

$\arcsin (\frac{1}{3} u) + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + x$ .

$\arcsin (\frac{1}{3} (1 + x)) + C$