Calcolo Esempi

$4 x y - x^{2} - 2 = 2 y^{2}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (4 x y - x^{2} - 2) = \frac{d}{d x} (2 y^{2})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x y - x^{2} - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x y$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 (x y' + y) - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (x y' + y) - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$4 (x y' + y) - 2 x + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 (x y' + y) - 2 x + 0$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 (x y') + 4 y - 2 x + 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $4 x y' + 4 y - 2 x$ e $0$ .

$4 x y' + 4 y - 2 x$

Passaggio 2.5.3

Riordina i termini.

$4 x y' - 2 x + 4 y$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 y^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 (y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$4 y y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$4 x y' - 2 x + 4 y = 4 y y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sottrai $4 y y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x y' - 2 x + 4 y - 4 y y' = 0$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Somma $2 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x y' + 4 y - 4 y y' = 2 x$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $4 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x y' - 4 y y' = 2 x - 4 y$

Passaggio 5.3

Scomponi $4 y'$ da $4 x y' - 4 y y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi $4 y'$ da $4 x y'$ .

$4 y' x - 4 y y' = 2 x - 4 y$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $4 y'$ da $- 4 y y'$ .

$4 y' x + 4 y' (- y) = 2 x - 4 y$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $4 y'$ da $4 y' x + 4 y' (- y)$ .

$4 y' (x - y) = 2 x - 4 y$

Passaggio 5.4

Dividi per $4 (x - y)$ ciascun termine in $4 y' (x - y) = 2 x - 4 y$ e semplifica.

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Passaggio 5.4.1

Dividi per $4 (x - y)$ ciascun termine in $4 y' (x - y) = 2 x - 4 y$ .

$\frac{4 y' (x - y)}{4 (x - y)} = \frac{2 x}{4 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y' (x - y)}{4 (x - y)} = \frac{2 x}{4 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (x - y)}{x - y} = \frac{2 x}{4 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $x - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x - y)}{x - y} = \frac{2 x}{4 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{2 x}{4 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$y' = \frac{2 (x)}{4 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $4 (x - y)$ .

$y' = \frac{2 (x)}{2 (2 (x - y))} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 x}{2 (2 (x - y))} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

Passaggio 5.4.3.1.2

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.2.1

Scomponi $4$ da $- 4 y$ .

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} + \frac{4 (- y)}{4 (x - y)}$

Passaggio 5.4.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} + \frac{4 (- y)}{4 (x - y)}$

Passaggio 5.4.3.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} + \frac{- y}{x - y}$

Passaggio 5.4.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} - \frac{y}{x - y}$

Passaggio 5.4.3.2

Per scrivere $- \frac{y}{x - y}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} - \frac{y}{x - y} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 5.4.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $2 (x - y)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.3.1

Moltiplica $\frac{y}{x - y}$ per $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} - \frac{y \cdot 2}{(x - y) \cdot 2}$

Passaggio 5.4.3.3.2

Riordina i fattori di $(x - y) \cdot 2$ .

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} - \frac{y \cdot 2}{2 (x - y)}$

Passaggio 5.4.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{x - y \cdot 2}{2 (x - y)}$

Passaggio 5.4.3.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y' = \frac{x - 2 y}{2 (x - y)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 2 y}{2 (x - y)}$