Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (x) \cos^{3} (x) d x$

Passaggio 1

Sia $u = \cos (x)$ . Allora $d u = - \sin (x) d x$ , quindi $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \cos (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Passaggio 1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - 1 u^{3} d u$

Passaggio 2

Riscrivi $- 1 u^{3}$ come $- u^{3}$ .

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - u^{3} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} u^{3} d u$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5

$\frac{1}{4}$ e $u^{4}$ .

$- (\frac{u^{4}}{4}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $\frac{u^{4}}{4}$ per $\frac{1}{2}$ e per $1$ .

$- ((\frac{{(\frac{1}{2})}^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Passaggio 6.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- (\frac{{(\frac{1}{2})}^{4}}{4} - \frac{1}{4})$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{{(\frac{1}{2})}^{4} - 1}{4}$

Passaggio 7.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\frac{1^{4}}{2^{4}} - 1}{4}$

Passaggio 7.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{\frac{1}{2^{4}} - 1}{4}$

Passaggio 7.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$- \frac{\frac{1}{16} - 1}{4}$

Passaggio 7.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{\frac{1}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16}}{4}$

Passaggio 7.4

$- 1$ e $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{\frac{1}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}}{4}$

Passaggio 7.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{\frac{1 - 1 \cdot 16}{16}}{4}$

Passaggio 7.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.6.1

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$- \frac{\frac{1 - 16}{16}}{4}$

Passaggio 7.6.2

Sottrai $16$ da $1$ .

$- \frac{\frac{- 15}{16}}{4}$

Passaggio 7.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{- \frac{15}{16}}{4}$

Passaggio 7.8

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- (- \frac{15}{16} \cdot \frac{1}{4})$

Passaggio 7.9

Moltiplica $- \frac{15}{16} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Passaggio 7.9.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{15}{16}$ .

$- - \frac{15}{4 \cdot 16}$

Passaggio 7.9.2

Moltiplica $4$ per $16$ .

$- - \frac{15}{64}$

Passaggio 7.10

Moltiplica $- - \frac{15}{64}$ .

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Passaggio 7.10.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{15}{64})$

Passaggio 7.10.2

Moltiplica $\frac{15}{64}$ per $1$ .

$\frac{15}{64}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{15}{64}$

Forma decimale:

$0.234375$