Calcolo Esempi

$\ln (1 + x)$

Passaggio 1

Scrivi $\ln (1 + x)$ come funzione.

$f (x) = \ln (1 + x)$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \ln (1 + x) d x$

Passaggio 4

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (1 + x)$ e $d v = 1$ .

$\ln (1 + x) x - \int x \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 5

$x$ e $\frac{1}{x + 1}$ .

$\ln (1 + x) x - \int \frac{x}{x + 1} d x$

Passaggio 6

Dividi $x$ per $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Passaggio 6.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Passaggio 6.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Passaggio 6.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Passaggio 6.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Passaggio 6.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\ln (1 + x) x - \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\ln (1 + x) x - (\int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Passaggio 8

Applica la regola costante.

$\ln (1 + x) x - (x + C + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (1 + x) x - (x + C - \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Passaggio 10

Sia $u = x + 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sia $u = x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 10.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 10.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 10.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 10.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 10.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (1 + x) x - (x + C - \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 11

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (1 + x) x - (x + C - (\ln (| u |) + C))$

Passaggio 12

Semplifica.

$\ln (1 + x) x - x + \ln (| u |) + C$

Passaggio 13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$\ln (1 + x) x - x + \ln (| x + 1 |) + C$

Passaggio 14

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \ln (1 + x)$ .

$F (x) =$ $\ln (1 + x) x - x + \ln (| x + 1 |) + C$