Calcolo Esempi

\int_{0}^{\infty} 2 x e^{x^{2}} d x

$\int_{0}^{\infty} 2 x e^{x^{2}} d x$

Passaggio 1

Scrivi l'integrale come un limite per

t

$t$ tendente a

\infty

$\infty$ .

lim t \to \infty \int_{0}^{t} 2 x e^{x^{2}} d x

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} 2 x e^{x^{2}} d x$

Passaggio 2

Poiché

2

$2$ è costante rispetto a

x

$x$ , sposta

2

$2$ fuori dall'integrale.

lim t \to \infty 2 \int_{0}^{t} x e^{x^{2}} d x

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{0}^{t} x e^{x^{2}} d x$

Passaggio 3

Sia

u_{2} = e^{x^{2}}

$u_{2} = e^{x^{2}}$ . Allora

d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x

$d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , quindi

\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x

$\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Riscrivi usando

u_{2}

$u_{2}$ e

d

$d$

u_{2}

$u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia

u_{2} = e^{x^{2}}

$u_{2} = e^{x^{2}}$ . Trova

\frac{d u_{2}}{d x}

$\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia

e^{x^{2}}

$e^{x^{2}}$ .

\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è

$f' (g (x)) g' (x)$ dove

$f (x) = e^{x}$ e

$g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta

$u_{1}$ come

$x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui

$\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è

$a^{u_{1}} \ln (a)$ dove

$a$ =

$e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di

$u_{1}$ con

$x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Passaggio 3.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1

Riordina i fattori di

$e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Passaggio 3.1.4.2

Riordina i fattori in

$2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Passaggio 3.2

Sostituisci il limite inferiore a

$x$ in

$u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{0^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Elevando

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

$0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Passaggio 3.3.2

Qualsiasi valore elevato a

$0$ è

$1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 3.4

Sostituisci il limite superiore a

$x$ in

$u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{t^{2}}$

Passaggio 3.5

I valori trovati per

$u_{lower}$ e

$u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{t^{2}}$

Passaggio 3.6

Riscrivi il problema usando

$u_{2}$ ,

$d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{1}^{e^{t^{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 4

Applica la regola costante.

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{e^{t^{2}}})$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

$\frac{1}{2}$ e

$u_{2}$ .

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{u_{2}}{2}]_{1}^{e^{t^{2}}})$

Passaggio 5.2

Calcola

$\frac{u_{2}}{2}$ per

$e^{t^{2}}$ e per

$1$ .

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2})$

Passaggio 6

Poiché la funzione

$\frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2}$ tende a

$\infty$ , anche la costante positiva

$2$ moltiplicata per la funzione tende a

$\infty$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Considera il limite con il multiplo costante

$2$ rimosso.

$lim_{t \to \infty} \frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{t \to \infty} \frac{e^{t^{2}} - 1}{2}$

Passaggio 6.2.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando

$t$ tende a

$\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} e^{t^{2}} - 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

Passaggio 6.2.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando

$t$ tende a

$\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} e^{t^{2}} - lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

Passaggio 6.3

Poiché l'esponente

$t^{2}$ tende a

$\infty$ , la quantità

$e^{t^{2}}$ tende a

$\infty$ .

$\frac{\infty - lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

Passaggio 6.4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Calcola il limite di

$1$ che è costante, mentre

$t$ tende a

$\infty$ .

$\frac{\infty - 1 \cdot 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

Passaggio 6.4.2

Calcola il limite di

$2$ che è costante, mentre

$t$ tende a

$\infty$ .

$\frac{\infty - 1 \cdot 1}{2}$

Passaggio 6.4.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.1.1

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$\frac{\infty - 1}{2}$

Passaggio 6.4.3.1.2

Infinito più o meno un numero è uguale a infinito.

$\frac{\infty}{2}$

Passaggio 6.4.3.2

Infinito diviso per qualsiasi cosa finita e diversa da zero è uguale a infinito.

$\infty$