Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\infty} 2 x e^{x^{2}} d x$

Passaggio 1

Scrivi l'integrale come un limite per $t$ tendente a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} 2 x e^{x^{2}} d x$

Passaggio 2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{0}^{t} x e^{x^{2}} d x$

Passaggio 3

Sia $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Allora $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Passaggio 3.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Passaggio 3.1.4

Semplifica.

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Passaggio 3.1.4.1

Riordina i fattori di $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Passaggio 3.1.4.2

Riordina i fattori in $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Passaggio 3.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{0^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Passaggio 3.3.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 3.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{t^{2}}$

Passaggio 3.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{t^{2}}$

Passaggio 3.6

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{1}^{e^{t^{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 4

Applica la regola costante.

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{e^{t^{2}}})$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.1

$\frac{1}{2}$ e $u_{2}$ .

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{u_{2}}{2}]_{1}^{e^{t^{2}}})$

Passaggio 5.2

Calcola $\frac{u_{2}}{2}$ per $e^{t^{2}}$ e per $1$ .

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2})$

Passaggio 6

Poiché la funzione $\frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2}$ tende a $\infty$ , anche la costante positiva $2$ moltiplicata per la funzione tende a $\infty$ .

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Passaggio 6.1

Considera il limite con il multiplo costante $2$ rimosso.

$lim_{t \to \infty} \frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2

Calcola il limite.

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Passaggio 6.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{t \to \infty} \frac{e^{t^{2}} - 1}{2}$

Passaggio 6.2.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $t$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} e^{t^{2}} - 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

Passaggio 6.2.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} e^{t^{2}} - lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

Passaggio 6.3

Poiché l'esponente $t^{2}$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{t^{2}}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty - lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

Passaggio 6.4

Calcola il limite.

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Passaggio 6.4.1

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $t$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty - 1 \cdot 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

Passaggio 6.4.2

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $t$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty - 1 \cdot 1}{2}$

Passaggio 6.4.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 6.4.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.4.3.1.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\infty - 1}{2}$

Passaggio 6.4.3.1.2

Infinito più o meno un numero è uguale a infinito.

$\frac{\infty}{2}$

Passaggio 6.4.3.2

Infinito diviso per qualsiasi cosa finita e diversa da zero è uguale a infinito.

$\infty$