Calcolo Esempi

$\ln (| x^{2} - 1 |)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = | x^{2} - 1 |$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $| x^{2} - 1 |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| x^{2} - 1 |]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| x^{2} - 1 |]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $| x^{2} - 1 |$ .

$\frac{1}{| x^{2} - 1 |} \frac{d}{d x} [| x^{2} - 1 |]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = | x |$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{| x^{2} - 1 |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Passaggio 2.2

La derivata di $| u_{2} |$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| x^{2} - 1 |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{| x^{2} - 1 |} (\frac{x^{2} - 1}{| x^{2} - 1 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Passaggio 3

Moltiplica $\frac{x^{2} - 1}{| x^{2} - 1 |}$ per $\frac{1}{| x^{2} - 1 |}$ .

$\frac{x^{2} - 1}{| x^{2} - 1 | | x^{2} - 1 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 4

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\frac{x^{2} - 1}{| (x^{2} - 1) (x^{2} - 1) |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 5

Eleva $x^{2} - 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{1} (x^{2} - 1) |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 6

Eleva $x^{2} - 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{1} {(x^{2} - 1)}^{1} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} (2 x + 0)$

Passaggio 12

Riduci le frazioni.

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Passaggio 12.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} (2 x)$

Passaggio 12.2

$2$ e $\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1)}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} x$

Passaggio 12.3

$\frac{2 (x^{2} - 1)}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$ e $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1) x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 1) x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

Passaggio 13.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

Passaggio 13.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 13.3.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 13.3.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 1 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

Passaggio 13.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 13.3.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 1 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

Passaggio 13.3.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 1 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

Passaggio 13.3.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 1 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

Passaggio 13.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$