Calcolo Esempi

$\frac{{(x - 3)}^{3}}{x^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = {(x - 3)}^{3}$ e $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}] - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}] - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}] - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - 3$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 3$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 3$ .

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.3

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2} (1 + 0)) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2} \cdot 1) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2}) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2}) - {(x - 3)}^{3} (2 x)}{x^{4}}$

Passaggio 4.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2}) - 2 {(x - 3)}^{3} x}{x^{4}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1.1

Scomponi $x {(x - 3)}^{2}$ da $x^{2} (3 {(x - 3)}^{2}) - 2 {(x - 3)}^{3} x$ .

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Passaggio 5.1.1.1

Scomponi $x {(x - 3)}^{2}$ da $x^{2} (3 {(x - 3)}^{2})$ .

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (x \cdot (3)) - 2 {(x - 3)}^{3} x}{x^{4}}$

Passaggio 5.1.1.2

Scomponi $x {(x - 3)}^{2}$ da $- 2 {(x - 3)}^{3} x$ .

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (x \cdot (3)) + x {(x - 3)}^{2} (- 2 (x - 3))}{x^{4}}$

Passaggio 5.1.1.3

Scomponi $x {(x - 3)}^{2}$ da $x {(x - 3)}^{2} (x \cdot (3)) + x {(x - 3)}^{2} (- 2 (x - 3))$ .

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (x \cdot (3) - 2 (x - 3))}{x^{4}}$

Passaggio 5.1.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (3 x - 2 (x - 3))}{x^{4}}$

Passaggio 5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (3 x - 2 x - 2 \cdot - 3)}{x^{4}}$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $- 2$ per $- 3$ .

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (3 x - 2 x + 6)}{x^{4}}$

Passaggio 5.1.5

Sottrai $2 x$ da $3 x$ .

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (x + 6)}{x^{4}}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{4}$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $x$ da $x {(x - 3)}^{2} (x + 6)$ .

$\frac{x ({(x - 3)}^{2} (x + 6))}{x^{4}}$

Passaggio 5.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$\frac{x ({(x - 3)}^{2} (x + 6))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x ({(x - 3)}^{2} (x + 6))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(x - 3)}^{2} (x + 6)}{x^{3}}$