Calcolo Esempi

$y = (x^{2} + 5) (3 x + 1)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ((x^{2} + 5) (3 x + 1))$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = x^{2} + 5$ e $g (y) = 3 x + 1$ .

$(x^{2} + 5) \frac{d}{d y} [3 x + 1] + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$(x^{2} + 5) (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Passaggio 3.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $y$ è $3 \frac{d}{d y} [x]$ .

$(x^{2} + 5) (3 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$(x^{2} + 5) (3 x' + \frac{d}{d y} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Passaggio 3.4

Differenzia.

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Passaggio 3.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$(x^{2} + 5) (3 x' + 0) + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Passaggio 3.4.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.4.2.1

Somma $3 x'$ e $0$ .

$(x^{2} + 5) (3 x') + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Passaggio 3.4.2.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{2} + 5$ .

$3 \cdot (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Passaggio 3.4.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 5$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [5]$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [5])$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = x$ .

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Passaggio 3.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [5])$

Passaggio 3.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (2 u \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [5])$

Passaggio 3.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (2 x \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [5])$

Passaggio 3.6

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (2 x x' + \frac{d}{d y} [5])$

Passaggio 3.7

Poiché $5$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $5$ rispetto a $y$ è $0$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (2 x x' + 0)$

Passaggio 3.8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.8.1

Somma $2 x x'$ e $0$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (2 x x')$

Passaggio 3.8.2

Sposta $2$ alla sinistra di $3 x + 1$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + 2 \cdot (3 x + 1) x x'$

Passaggio 3.9

Semplifica.

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Passaggio 3.9.1