Calcolo Esempi

$5 x y + y - x - 3 = 0$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (5 x y + y - x - 3) = \frac{d}{d x} (0)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x y + y - x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x y]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x y$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$5 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$5 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$5 (x y' + y) + y' + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Passaggio 2.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x y' + y) + y' - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 (x y' + y) + y' - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$5 (x y' + y) + y' - 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.5

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 (x y' + y) + y' - 1 + 0$

Passaggio 2.6

Semplifica.

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Passaggio 2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 (x y') + 5 y + y' - 1 + 0$

Passaggio 2.6.2

Somma $5 x y' + 5 y + y' - 1$ e $0$ .

$5 x y' + 5 y + y' - 1$

Passaggio 3

Poiché $0$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$5 x y' + 5 y + y' - 1 = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.1.1

Sottrai $5 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5 x y' + y' - 1 = - 5 y$

Passaggio 5.1.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$5 x y' + y' = - 5 y + 1$

Passaggio 5.2

Scomponi $y'$ da $5 x y' + y'$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $y'$ da $5 x y'$ .

$y' (5 x) + y' = - 5 y + 1$

Passaggio 5.2.2

Eleva $y'$ alla potenza di $1$ .

$y' (5 x) + y' = - 5 y + 1$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $y'$ da ${y'}^{1}$ .

$y' (5 x) + y' \cdot 1 = - 5 y + 1$

Passaggio 5.2.4

Scomponi $y'$ da $y' (5 x) + y' \cdot 1$ .

$y' (5 x + 1) = - 5 y + 1$

Passaggio 5.3

Dividi per $5 x + 1$ ciascun termine in $y' (5 x + 1) = - 5 y + 1$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Dividi per $5 x + 1$ ciascun termine in $y' (5 x + 1) = - 5 y + 1$ .

$\frac{y' (5 x + 1)}{5 x + 1} = \frac{- 5 y}{5 x + 1} + \frac{1}{5 x + 1}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $5 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (5 x + 1)}{5 x + 1} = \frac{- 5 y}{5 x + 1} + \frac{1}{5 x + 1}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 5 y}{5 x + 1} + \frac{1}{5 x + 1}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 5 y + 1}{5 x + 1}$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $- 1$ da $- 5 y$ .

$y' = \frac{- (5 y) + 1}{5 x + 1}$

Passaggio 5.3.3.3

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- (5 y) - 1 (- 1)}{5 x + 1}$

Passaggio 5.3.3.4

Scomponi $- 1$ da $- (5 y) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- (5 y - 1)}{5 x + 1}$

Passaggio 5.3.3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.3.3.5.1

Riscrivi $- (5 y - 1)$ come $- 1 (5 y - 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (5 y - 1)}{5 x + 1}$

Passaggio 5.3.3.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{5 y - 1}{5 x + 1}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 y - 1}{5 x + 1}$