Calcolo Esempi

$y = 302.2 (\frac{103^{x}}{100^{x}})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

$302.2$ e $\frac{103^{x}}{100^{x}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{302.2 \cdot 103^{x}}{100^{x}}]$

Passaggio 1.2

Poiché $302.2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{302.2 \cdot 103^{x}}{100^{x}}$ rispetto a $x$ è $302.2 \frac{d}{d x} [\frac{103^{x}}{100^{x}}]$ .

$302.2 \frac{d}{d x} [\frac{103^{x}}{100^{x}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 103^{x}$ e $g (x) = 100^{x}$ .

$302.2 \frac{100^{x} \frac{d}{d x} [103^{x}] - 103^{x} \frac{d}{d x} [100^{x}]}{{(100^{x})}^{2}}$

Passaggio 3

Moltiplica gli esponenti in ${(100^{x})}^{2}$ .

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Passaggio 3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$302.2 \frac{100^{x} \frac{d}{d x} [103^{x}] - 103^{x} \frac{d}{d x} [100^{x}]}{100^{x \cdot 2}}$

Passaggio 3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$302.2 \frac{100^{x} \frac{d}{d x} [103^{x}] - 103^{x} \frac{d}{d x} [100^{x}]}{100^{2 x}}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $103$ .

$302.2 \frac{100^{x} (103^{x} \ln (103)) - 103^{x} \frac{d}{d x} [100^{x}]}{100^{2 x}}$

Passaggio 5

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $103^{x} \cdot 100^{x}$ come ${(103 \cdot 100)}^{x}$ .

$302.2 \frac{{(103 \cdot 100)}^{x} \ln (103) - 103^{x} \frac{d}{d x} [100^{x}]}{100^{2 x}}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $103$ per $100$ .

$302.2 \frac{10300^{x} \ln (103) - 103^{x} \frac{d}{d x} [100^{x}]}{100^{2 x}}$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $100$ .

$302.2 \frac{10300^{x} \ln (103) - 103^{x} (100^{x} \ln (100))}{100^{2 x}}$

Passaggio 7

Semplifica i termini.

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Passaggio 7.1

Riscrivi $100^{x} \cdot 103^{x}$ come ${(100 \cdot 103)}^{x}$ .

$302.2 \frac{10300^{x} \ln (103) - {(100 \cdot 103)}^{x} \ln (100)}{100^{2 x}}$

Passaggio 7.2

Moltiplica $100$ per $103$ .

$302.2 \frac{10300^{x} \ln (103) - 10300^{x} \ln (100)}{100^{2 x}}$

Passaggio 7.3

$302.2$ e $\frac{10300^{x} \ln (103) - 10300^{x} \ln (100)}{100^{2 x}}$ .

$\frac{302.2 (10300^{x} \ln (103) - 10300^{x} \ln (100))}{100^{2 x}}$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{302.2 (10300^{x} \ln (103)) + 302.2 (- 10300^{x} \ln (100))}{100^{2 x}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.2.1.1

Moltiplica $302.2 (10300^{x} \ln (103))$ .

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Passaggio 8.2.1.1.1

Riordina $\ln (103)$ e $302.2$ .

$\frac{302.2 \cdot \ln (103) \cdot 10300^{x} + 302.2 (- 10300^{x} \ln (100))}{100^{2 x}}$

Passaggio 8.2.1.1.2

Semplifica $302.2 \cdot \ln (103)$ spostando $302.2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln (103^{302.2}) \cdot 10300^{x} + 302.2 (- 10300^{x} \ln (100))}{100^{2 x}}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $302.2 (- 10300^{x} \ln (100))$ .

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Passaggio 8.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $302.2$ .

$\frac{\ln (103^{302.2}) \cdot 10300^{x} - 302.2 (10300^{x} \ln (100))}{100^{2 x}}$

Passaggio 8.2.1.2.2

Riordina $\ln (100)$ e $- 302.2$ .

$\frac{\ln (103^{302.2}) \cdot 10300^{x} - 302.2 \cdot \ln (100) \cdot 10300^{x}}{100^{2 x}}$

Passaggio 8.2.1.2.3

Semplifica $- 302.2 \cdot \ln (100)$ spostando $302.2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln (103^{302.2}) \cdot 10300^{x} - \ln (100^{302.2}) \cdot 10300^{x}}{100^{2 x}}$

Passaggio 8.2.2

Riordina i fattori in $\ln (103^{302.2}) \cdot 10300^{x} - \ln (100^{302.2}) \cdot 10300^{x}$ .

$\frac{10300^{x} \ln (103^{302.2}) - 10300^{x} \ln (100^{302.2})}{100^{2 x}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.3.1

Scomponi $10300^{x}$ da $10300^{x} \ln (103^{302.2}) - 10300^{x} \ln (100^{302.2})$ .

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Passaggio 8.3.1.1

Scomponi $10300^{x}$ da $10300^{x} \ln (103^{302.2})$ .

$\frac{10300^{x} (\ln (103^{302.2})) - 10300^{x} \ln (100^{302.2})}{100^{2 x}}$

Passaggio 8.3.1.2

Scomponi $10300^{x}$ da $- 10300^{x} \ln (100^{302.2})$ .

$\frac{10300^{x} (\ln (103^{302.2})) + 10300^{x} (- \ln (100^{302.2}))}{100^{2 x}}$

Passaggio 8.3.1.3

Scomponi $10300^{x}$ da $10300^{x} (\ln (103^{302.2})) + 10300^{x} (- \ln (100^{302.2}))$ .

$\frac{10300^{x} (\ln (103^{302.2}) - \ln (100^{302.2}))}{100^{2 x}}$

Passaggio 8.3.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{10300^{x} \ln (\frac{103^{302.2}}{100^{302.2}})}{100^{2 x}}$