Calcolo Esempi

$y = \frac{3}{1 + x}$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 3$

Passaggio 1

Per calcolare il volume del solido, devi innanzitutto definire l'area di ogni sezione, quindi eseguire l'integrazione su tutto l'intervallo. L'area di ogni sezione è un cerchio con raggio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{3} {(f (x))}^{2} d x$ dove $f (x) = \frac{3}{1 + x}$

Passaggio 2

Semplifica l'integrando.

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Passaggio 2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{1 + x}$ .

$V = \frac{3^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$V = \frac{9}{{(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 3

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$V = π (9 \int_{0}^{3} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x)$

Passaggio 4

Sposta $9$ alla sinistra di $π$ .

$V = 9 π \int_{0}^{3} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Passaggio 5

Sia $u = 1 + x$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = 1 + x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 5.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 5.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 1 + x$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Passaggio 5.3

Somma $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 5.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 1 + x$ .

$u_{upper} = 1 + 3$

Passaggio 5.5

Somma $1$ e $3$ .

$u_{upper} = 4$

Passaggio 5.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Passaggio 5.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$V = 9 π \int_{1}^{4} \frac{1}{u^{2}} d u$

Passaggio 6

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 6.1

Sposta $u^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$V = 9 π \int_{1}^{4} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Passaggio 6.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 6.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 9 π \int_{1}^{4} u^{2 \cdot - 1} d u$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$V = 9 π \int_{1}^{4} u^{- 2} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- 2}$ rispetto a $u$ è $- u^{- 1}$ .

$V = 9 π - u^{- 1}]_{1}^{4}$

Passaggio 8

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 8.1

Calcola $- u^{- 1}$ per $4$ e per $1$ .

$V = 9 π ((- 4^{- 1}) + 1^{- 1})$

Passaggio 8.2

Semplifica.

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Passaggio 8.2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

Passaggio 8.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$V = 9 π (- \frac{1}{4} + 1)$

Passaggio 8.2.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$V = 9 π (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

Passaggio 8.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = 9 π (\frac{- 1 + 4}{4})$

Passaggio 8.2.5

Somma $- 1$ e $4$ .

$V = 9 π (\frac{3}{4})$

Passaggio 8.2.6

$\frac{3}{4}$ e $9$ .

$V = \frac{3 \cdot 9}{4} \cdot π$

Passaggio 8.2.7

Moltiplica $3$ per $9$ .

$V = \frac{27}{4} \cdot π$

Passaggio 8.2.8

$\frac{27}{4}$ e $π$ .

$V = \frac{27 π}{4}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$V = \frac{27 π}{4}$

Forma decimale:

$V = 21.20575041 \dots$

Passaggio 10