Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{6} - x}{x^{3}}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{x^{6} - x}{x^{3}} d x$

Passaggio 3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.1

Semplifica.

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Passaggio 3.1.1

Scomponi $x$ da $x^{6} - x$ .

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Passaggio 3.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{6}$ .

$\int \frac{x \cdot x^{5} - x}{x^{3}} d x$

Passaggio 3.1.1.2

Scomponi $x$ da $- x$ .

$\int \frac{x \cdot x^{5} + x \cdot - 1}{x^{3}} d x$

Passaggio 3.1.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{5} + x \cdot - 1$ .

$\int \frac{x (x^{5} - 1)}{x^{3}} d x$

Passaggio 3.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.1.2.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\int \frac{x (x^{5} - 1)}{x \cdot x^{2}} d x$

Passaggio 3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{x (x^{5} - 1)}{x \cdot x^{2}} d x$

Passaggio 3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{x^{5} - 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 3.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 3.2.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (x^{5} - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 3.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{5} - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 3.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int (x^{5} - 1) x^{- 2} d x$

Passaggio 4

Moltiplica $(x^{5} - 1) x^{- 2}$ .

$\int x^{5} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $x^{5}$ per $x^{- 2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{5 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 5.1.2

Sottrai $2$ da $5$ .

$\int x^{3} - 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 5.2

Riscrivi $- 1 x^{- 2}$ come $- x^{- 2}$ .

$\int x^{3} - x^{- 2} d x$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x^{3} d x + \int - x^{- 2} d x$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int - x^{- 2} d x$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - \int x^{- 2} d x$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (- x^{- 1} + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Semplifica.

$\frac{1}{4} x^{4} - - x^{- 1} + C$

Passaggio 10.2

Semplifica.

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Passaggio 10.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + 1 x^{- 1} + C$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $x^{- 1}$ per $1$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + x^{- 1} + C$

Passaggio 11

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{x^{6} - x}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} + x^{- 1} + C$