Calcolo Esempi

$x - \sin (2 x)$

Passaggio 1

Scrivi $x - \sin (2 x)$ come funzione.

$f (x) = x - \sin (2 x)$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int x - \sin (2 x) d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x d x + \int - \sin (2 x) d x$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - \sin (2 x) d x$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \sin (2 x) d x$

Passaggio 7

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 7.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Passaggio 8

$\sin (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u)$

Passaggio 10

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \frac{1}{2} (- \cos (u) + C)$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Semplifica.

$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (- \cos (u)) + C$

Passaggio 11.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u) + C$

Passaggio 11.2.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cos (u) + C$

Passaggio 11.2.3

$\frac{1}{2}$ e $\cos (u)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{\cos (u)}{2} + C$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2} + C$

Passaggio 13

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$

Passaggio 14

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = x - \sin (2 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$