Calcolo Esempi

$(x - 1) \cdot e^{x}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x - 1$ e $g (x) = e^{x}$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (1 + 0)$

Passaggio 3.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$x e^{x} - 1 e^{x} + e^{x}$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.2.1

Riscrivi $- 1 e^{x}$ come $- e^{x}$ .

$x e^{x} - e^{x} + e^{x}$

Passaggio 4.2.2

Somma $- e^{x}$ e $e^{x}$ .

$x e^{x} + 0$

Passaggio 4.2.3

Somma $x e^{x}$ e $0$ .

$x e^{x}$

Passaggio 4.3

Riordina i fattori di $x e^{x}$ .

$e^{x} x$

Passaggio 4.4

Riordina i fattori in $e^{x} x$ .

$x e^{x}$