Calcolo Esempi

$4 + x - y^{2} = - x^{3} y$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (4 + x - y^{2}) = \frac{d}{d x} (- x^{3} y)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 + x - y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$0 + 1 - \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$0 + 1 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 1 - (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$0 + 1 - (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$0 + 1 - (2 y y')$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 + 1 - 2 y y'$

Passaggio 2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Somma $0$ e $1$ .

$1 - 2 y y'$

Passaggio 2.3.2

Riordina i termini.

$- 2 y y' + 1$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3} y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3} y]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

$- (x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- (x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- (x^{3} y' + y (3 x^{2}))$

Passaggio 3.5

Sposta $3$ alla sinistra di $y$ .

$- (x^{3} y' + 3 \cdot y x^{2})$

Passaggio 3.6

Semplifica.

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Passaggio 3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$- (x^{3} y') - (3 y x^{2})$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- x^{3} y' - 3 y x^{2}$

Passaggio 3.6.3

Riordina i termini.

$- x^{3} y' - 3 x^{2} y$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- 2 y y' + 1 = - x^{3} y' - 3 x^{2} y$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Somma $x^{3} y'$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 y y' + 1 + x^{3} y' = - 3 x^{2} y$

Passaggio 5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 y y' + x^{3} y' = - 3 x^{2} y - 1$

Passaggio 5.3

Scomponi $y'$ da $- 2 y y' + x^{3} y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi $y'$ da $- 2 y y'$ .

$y' (- 2 y) + x^{3} y' = - 3 x^{2} y - 1$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $y'$ da $x^{3} y'$ .

$y' (- 2 y) + y' (x^{3}) = - 3 x^{2} y - 1$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $y'$ da $y' (- 2 y) + y' (x^{3})$ .

$y' (- 2 y + x^{3}) = - 3 x^{2} y - 1$

Passaggio 5.4

Dividi per $- 2 y + x^{3}$ ciascun termine in $y' (- 2 y + x^{3}) = - 3 x^{2} y - 1$ e semplifica.

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Passaggio 5.4.1

Dividi per $- 2 y + x^{3}$ ciascun termine in $y' (- 2 y + x^{3}) = - 3 x^{2} y - 1$ .

$\frac{y' (- 2 y + x^{3})}{- 2 y + x^{3}} = \frac{- 3 x^{2} y}{- 2 y + x^{3}} + \frac{- 1}{- 2 y + x^{3}}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2 y + x^{3}$ .

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Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (- 2 y + x^{3})}{- 2 y + x^{3}} = \frac{- 3 x^{2} y}{- 2 y + x^{3}} + \frac{- 1}{- 2 y + x^{3}}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2} y}{- 2 y + x^{3}} + \frac{- 1}{- 2 y + x^{3}}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.4.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 3 x^{2} y - 1}{- 2 y + x^{3}}$

Passaggio 5.4.3.2

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2} y$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} y) - 1}{- 2 y + x^{3}}$

Passaggio 5.4.3.3

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} y) - 1 (1)}{- 2 y + x^{3}}$

Passaggio 5.4.3.4

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2} y) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} y + 1)}{- 2 y + x^{3}}$

Passaggio 5.4.3.5

Riscrivi $- (3 x^{2} y + 1)$ come $- 1 (3 x^{2} y + 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} y + 1)}{- 2 y + x^{3}}$

Passaggio 5.4.3.6

Scomponi $- 1$ da $- 2 y$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} y + 1)}{- (2 y) + x^{3}}$

Passaggio 5.4.3.7

Scomponi $- 1$ da $x^{3}$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} y + 1)}{- (2 y) - 1 (- x^{3})}$

Passaggio 5.4.3.8

Scomponi $- 1$ da $- (2 y) - 1 (- x^{3})$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} y + 1)}{- (2 y - x^{3})}$

Passaggio 5.4.3.9

Riscrivi $- (2 y - x^{3})$ come $- 1 (2 y - x^{3})$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} y + 1)}{- 1 (2 y - x^{3})}$

Passaggio 5.4.3.10

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} y + 1)}{- 1 (2 y - x^{3})}$

Passaggio 5.4.3.11

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{3 x^{2} y + 1}{2 y - x^{3}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} y + 1}{2 y - x^{3}}$