Calcolo Esempi

$f (x) = \sin (3 x + \frac{π}{6})$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \sin (3 x + \frac{π}{6}) d x$

Passaggio 3

Sia $u = 3 x + \frac{π}{6}$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = 3 x + \frac{π}{6}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $3 x + \frac{π}{6}$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + \frac{π}{6}]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + \frac{π}{6}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$

Passaggio 3.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Passaggio 3.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$

Passaggio 3.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$

Passaggio 3.1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$

Passaggio 3.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 3.1.4.1

Poiché $\frac{π}{6}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{π}{6}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 + 0$

Passaggio 3.1.4.2

Somma $3$ e $0$ .

$3$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Passaggio 4

$\sin (u)$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int \sin (u) d u$

Passaggio 6

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Semplifica.

$\frac{1}{3} (- \cos (u)) + C$

Passaggio 7.2

$\frac{1}{3}$ e $\cos (u)$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x + \frac{π}{6}$ .

$- \frac{\cos (3 x + \frac{π}{6})}{3} + C$

Passaggio 9

Riordina i termini.

$- \frac{1}{3} \cos (3 x + \frac{π}{6}) + C$

Passaggio 10

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \sin (3 x + \frac{π}{6})$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \cos (3 x + \frac{π}{6}) + C$