Calcolo Esempi

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2} + 5 x}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} {(x + 5)}^{2}}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x^{2} + 5 x}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Sposta l'esponente $2$ da ${(x + 5)}^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + 5)}^{2}}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x^{2} + 5 x}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 5$ .

$\frac{{(lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 5)}^{2}}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x^{2} + 5 x}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Calcola il limite di $5$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 5$ .

$\frac{{(lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + 5)}^{2}}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x^{2} + 5 x}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 5$ per $x$ .

$\frac{{(- 5 + 5)}^{2}}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x^{2} + 5 x}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Somma $- 5$ e $5$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x^{2} + 5 x}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x^{2} + 5 x}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x^{2} + lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 5 x}$

Passaggio 1.1.3.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x)}^{2} + lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 5 x}$

Passaggio 1.1.3.3

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x)}^{2} + 5 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x}$

Passaggio 1.1.3.4

Calcola il limite inserendo $- 5$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 5$ per $x$ .

$\frac{0}{{(- 5)}^{2} + 5 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x}$

Passaggio 1.1.3.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 5$ per $x$ .

$\frac{0}{{(- 5)}^{2} + 5 \cdot - 5}$

Passaggio 1.1.3.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{0}{25 + 5 \cdot - 5}$

Passaggio 1.1.3.5.1.2

Moltiplica $5$ per $- 5$ .

$\frac{0}{25 - 25}$

Passaggio 1.1.3.5.2

Sottrai $25$ da $25$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.5.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.6

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2} + 5 x} = lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi ${(x + 5)}^{2}$ come $(x + 5) (x + 5)$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 5) (x + 5)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Passaggio 1.3.3

Espandi $(x + 5) (x + 5)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x (x + 5) + 5 (x + 5)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Passaggio 1.3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Passaggio 1.3.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Passaggio 1.3.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Passaggio 1.3.4.1.2

Sposta $5$ alla sinistra di $x$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Passaggio 1.3.4.1.3

Moltiplica $5$ per $5$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 5 x + 25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Passaggio 1.3.4.2

Somma $5 x$ e $5 x$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x + 25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Passaggio 1.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 10 x + 25$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Passaggio 1.3.7

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 x$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Passaggio 1.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Passaggio 1.3.9

Moltiplica $10$ per $1$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10 + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Passaggio 1.3.10

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Passaggio 1.3.11

Somma $2 x + 10$ e $0$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Passaggio 1.3.12

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 5 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]}$

Passaggio 1.3.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10}{2 x + \frac{d}{d x} [5 x]}$

Passaggio 1.3.14

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.14.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10}{2 x + 5 \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.14.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10}{2 x + 5 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.14.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10}{2 x + 5}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $- 5$ .

$\frac{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 2 x + 10}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 2 x + 5}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 5$ .

$\frac{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 2 x + lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 10}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 2 x + 5}$

Passaggio 2.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 10}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 2 x + 5}$

Passaggio 2.4

Calcola il limite di $10$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 5$ .

$\frac{2 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + 10}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 2 x + 5}$

Passaggio 2.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 5$ .

$\frac{2 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + 10}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 2 x + lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 5}$

Passaggio 2.6

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + 10}{2 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 5}$

Passaggio 2.7

Calcola il limite di $5$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 5$ .

$\frac{2 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + 10}{2 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + 5}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $- 5$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 5$ per $x$ .

$\frac{2 \cdot - 5 + 10}{2 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + 5}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 5$ per $x$ .

$\frac{2 \cdot - 5 + 10}{2 \cdot - 5 + 5}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Elimina il fattore comune di $2 \cdot - 5 + 10$ e $2 \cdot - 5 + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Scomponi $5$ da $2 \cdot - 5$ .

$\frac{5 (2 \cdot - 1) + 10}{2 \cdot - 5 + 5}$

Passaggio 4.1.2

Scomponi $5$ da $10$ .

$\frac{5 (2 \cdot - 1) + 5 \cdot 2}{2 \cdot - 5 + 5}$

Passaggio 4.1.3

Scomponi $5$ da $5 (2 \cdot - 1) + 5 (2)$ .

$\frac{5 (2 \cdot - 1 + 2)}{2 \cdot - 5 + 5}$

Passaggio 4.1.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Scomponi $5$ da $2 \cdot - 5$ .

$\frac{5 (2 \cdot - 1 + 2)}{5 (2 \cdot - 1) + 5}$

Passaggio 4.1.4.2

Scomponi $5$ da $5$ .

$\frac{5 (2 \cdot - 1 + 2)}{5 (2 \cdot - 1) + 5 (1)}$

Passaggio 4.1.4.3

Scomponi $5$ da $5 (2 \cdot - 1) + 5 (1)$ .

$\frac{5 (2 \cdot - 1 + 2)}{5 (2 \cdot - 1 + 1)}$

Passaggio 4.1.4.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 (2 \cdot - 1 + 2)}{5 (2 \cdot - 1 + 1)}$

Passaggio 4.1.4.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \cdot - 1 + 2}{2 \cdot - 1 + 1}$

Passaggio 4.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- 2 + 2}{2 \cdot - 1 + 1}$

Passaggio 4.2.2

Somma $- 2$ e $2$ .

$\frac{0}{2 \cdot - 1 + 1}$

Passaggio 4.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{0}{- 2 + 1}$

Passaggio 4.3.2

Somma $- 2$ e $1$ .

$\frac{0}{- 1}$

Passaggio 4.4

Dividi $0$ per $- 1$ .

$0$