Calcolo Esempi

$e^{x} \cdot \sin (x)$

Passaggio 1

Scrivi $e^{x} \cdot \sin (x)$ come funzione.

$f (x) = e^{x} \cdot \sin (x)$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int e^{x} \cdot \sin (x) d x$

Passaggio 4

Riordina $e^{x}$ e $\sin (x)$ .

$\int \sin (x) \cdot e^{x} d x$

Passaggio 5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \sin (x)$ e $d v = e^{x}$ .

$\sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x$

Passaggio 6

Riordina $e^{x}$ e $\cos (x)$ .

$\sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x$

Passaggio 7

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \cos (x)$ e $d v = e^{x}$ .

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x)$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Passaggio 9

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Passaggio 9.2

Moltiplica $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ per $1$ .

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Passaggio 9.3

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Passaggio 10

Risolvendo $\int e^{x} \cdot \sin (x) d x$ , troviamo che $\int e^{x} \cdot \sin (x) d x$ = $\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}$ .

$\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C$

Passaggio 11

Riscrivi $\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C$ come $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$ .

$\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$

Passaggio 12

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = e^{x} \cdot \sin (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$