Calcolo Esempi

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + y^{2}})$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ come ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = \ln (y)$ e $g (y) = x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d y} [x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d y} [x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 3.2

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ e $g (y) = x^{2} + y^{2}$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 6

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 8

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 8.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 9

Riduci le frazioni.

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Passaggio 9.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 9.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 9.3

Sposta ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 9.4

Moltiplica $\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Passaggio 10

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Passaggio 11

Poiché $x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x^{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Passaggio 12

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} (2 y)$

Passaggio 14

Semplifica i termini.

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Passaggio 14.1

$2$ e $\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} y$

Passaggio 14.2

$\frac{2}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$ e $y$ .

$\frac{2 y}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 14.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 14.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$