Calcolo Esempi

$\int {(1 + x^{2})}^{2} \cdot 6 x d x$

Passaggio 1

Sposta $6$ alla sinistra di ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

$\int 6 {(1 + x^{2})}^{2} x d x$

Passaggio 2

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$6 \int {(1 + x^{2})}^{2} x d x$

Passaggio 3

Sia $u = 1 + x^{2}$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia $u = 1 + x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Passaggio 3.1.5

Somma $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$6 \int u^{2} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 4

$u^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$6 \int \frac{u^{2}}{2} d u$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$6 (\frac{1}{2} \int u^{2} d u)$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

$\frac{1}{2}$ e $6$ .

$\frac{6}{2} \int u^{2} d u$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int u^{2} d u$

Passaggio 6.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int u^{2} d u$

Passaggio 6.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int u^{2} d u$

Passaggio 6.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{1} \int u^{2} d u$

Passaggio 6.2.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$3 \int u^{2} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Riscrivi $3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ come $3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ .

$3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Passaggio 8.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} u^{3} + C$

Passaggio 8.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{3} u^{3} + C$

Passaggio 8.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 u^{3} + C$

Passaggio 8.2.3

Moltiplica $u^{3}$ per $1$ .

$u^{3} + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + x^{2}$ .

${(1 + x^{2})}^{3} + C$