Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} x^{2} e^{- x^{3}} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{2} = e^{- x^{3}}$ . Allora $d u_{2} = - 3 x^{2} e^{- x^{3}} d x$ , quindi $- \frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{- x^{3}} d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{2} = e^{- x^{3}}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $e^{- x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{3}}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{3}$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- x^{3}$ .

$e^{- x^{3}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$e^{- x^{3}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$e^{- x^{3}} (- (3 x^{2}))$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.1.4.1

Riordina i fattori di $e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$ .

$- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$

Passaggio 1.1.4.2

Riordina i fattori in $- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$ .

$- 3 x^{2} e^{- x^{3}}$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u_{2} = e^{- x^{3}}$ .

$u_{lower} = e^{- 0^{3}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = e^{- 0}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Passaggio 1.3.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u_{2} = e^{- x^{3}}$ .

$u_{upper} = e^{- 1^{3}}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = e^{- 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$u_{upper} = e^{- 1}$

Passaggio 1.5.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{e}$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{e}$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{\frac{1}{e}} \frac{1}{- 3} d u_{2}$

Passaggio 2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{1}^{\frac{1}{e}} - \frac{1}{3} d u_{2}$

Passaggio 3

Applica la regola costante.

$- \frac{1}{3} u_{2}]_{1}^{\frac{1}{e}}$

Passaggio 4

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 4.1

Calcola $- \frac{1}{3} u_{2}$ per $\frac{1}{e}$ e per $1$ .

$(- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{e}) + \frac{1}{3} \cdot 1$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica $\frac{1}{e}$ per $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{e \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot 1$

Passaggio 4.2.2

Sposta $3$ alla sinistra di $e$ .

$- \frac{1}{3 \cdot e} + \frac{1}{3} \cdot 1$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$- \frac{1}{3 e} + \frac{1}{3}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{1}{3 e} + \frac{1}{3}$

Forma decimale:

$0.21070685 \dots$

Passaggio 6