Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $x^{\frac{1}{x^{2}}}$ come $e^{\ln (x^{\frac{1}{x^{2}}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln (x^{\frac{1}{x^{2}}})}$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln (x^{\frac{1}{x^{2}}})$ spostando $\frac{1}{x^{2}}$ fuori dal logaritmo.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x^{2}} \ln (x)}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} \ln (x)}$

Passaggio 2.2

$\frac{1}{x^{2}}$ e $\ln (x)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{x^{2}}}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}$

Passaggio 3.1.2

Con un logaritmo che tende a infinito, il valore diventa $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}$

Passaggio 3.1.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Passaggio 3.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Passaggio 3.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Passaggio 3.3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{2 x}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2 x}}$

Passaggio 3.5

Combina i fattori.

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Passaggio 3.5.1

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{1}{2 x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x \cdot 2 x}}$

Passaggio 3.5.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{1} x}}$

Passaggio 3.5.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{1} x^{1}}}$

Passaggio 3.5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{1 + 1}}}$

Passaggio 3.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{2}}}$

Passaggio 4

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 5

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x^{2}}$ tende a $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot 0}$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $0$ .

$e^{0}$

Passaggio 6.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$1$