Calcolo Esempi

$y = x^{3} + x^{2} - 5$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + x^{2} - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.4

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} + 2 x + 0$

Passaggio 1.5

Somma $3 x^{2} + 2 x$ e $0$ .

$3 x^{2} + 2 x$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} + 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (2 x)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 6 x + 2$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$3 x^{2} + 2 x = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + x^{2} - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 4.1.4

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} + 2 x + 0$

Passaggio 4.1.5

Somma $3 x^{2} + 2 x$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} + 2 x$ .

$3 x^{2} + 2 x$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} + 2 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} + 2 x = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi $x$ da $3 x^{2} + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $x$ da $3 x^{2}$ .

$x (3 x) + 2 x = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$x (3 x) + x \cdot 2 = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $x$ da $x (3 x) + x \cdot 2$ .

$x (3 x + 2) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$3 x + 2 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $3 x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $3 x + 2$ uguale a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $3 x + 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 2$

Passaggio 5.5.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 2$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 5.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 5.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 5.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{2}{3}$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (3 x + 2) = 0$ vera.

$x = 0, - \frac{2}{3}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, - \frac{2}{3}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$6 (0) + 2$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $6$ per $0$ .

$0 + 2$

Passaggio 9.2

Somma $0$ e $2$ .

$2$

Passaggio 10

$x = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = {(0)}^{3} + {(0)}^{2} - 5$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + {(0)}^{2} - 5$

Passaggio 11.2.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 5$

Passaggio 11.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 - 5$

Passaggio 11.2.2.2

Sottrai $5$ da $0$ .

$f (0) = - 5$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $- 5$ .

$y = - 5$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{2}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$6 (- \frac{2}{3}) + 2$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{3}$ nel numeratore.

$6 (\frac{- 2}{3}) + 2$

Passaggio 13.1.1.2

Scomponi $3$ da $6$ .

$3 (2) \frac{- 2}{3} + 2$

Passaggio 13.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot 2 \frac{- 2}{3} + 2$

Passaggio 13.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$2 \cdot - 2 + 2$

Passaggio 13.1.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- 4 + 2$

Passaggio 13.2

Somma $- 4$ e $2$ .

$- 2$

Passaggio 14

$x = - \frac{2}{3}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{2}{3}$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - \frac{2}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{2}{3}$ nell'espressione.

$f (- \frac{2}{3}) = {(- \frac{2}{3})}^{3} + {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3})}^{3} + {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5$

Passaggio 15.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3}}) + {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5$

Passaggio 15.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{2^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5$

Passaggio 15.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{3^{3}} + {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5$

Passaggio 15.2.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5$

Passaggio 15.2.1.5

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.5.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + {(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} - 5$

Passaggio 15.2.1.5.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + {(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2}}) - 5$

Passaggio 15.2.1.6

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + 1 (\frac{2^{2}}{3^{2}}) - 5$

Passaggio 15.2.1.7

Moltiplica $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{2^{2}}{3^{2}} - 5$

Passaggio 15.2.1.8

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4}{3^{2}} - 5$

Passaggio 15.2.1.9

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4}{9} - 5$

Passaggio 15.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Moltiplica $\frac{4}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{3} - 5$

Passaggio 15.2.2.2

Moltiplica $\frac{4}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} - 5$

Passaggio 15.2.2.3

Scrivi $- 5$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 5}{1}$

Passaggio 15.2.2.4

Moltiplica $\frac{- 5}{1}$ per $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 5}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Passaggio 15.2.2.5

Moltiplica $\frac{- 5}{1}$ per $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 5 \cdot 27}{27}$

Passaggio 15.2.2.6

Riordina i fattori di $9 \cdot 3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{- 5 \cdot 27}{27}$

Passaggio 15.2.2.7

Moltiplica $3$ per $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4 \cdot 3}{27} + \frac{- 5 \cdot 27}{27}$

Passaggio 15.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 8 + 4 \cdot 3 - 5 \cdot 27}{27}$

Passaggio 15.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.4.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 8 + 12 - 5 \cdot 27}{27}$

Passaggio 15.2.4.2

Moltiplica $- 5$ per $27$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 8 + 12 - 135}{27}$

Passaggio 15.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.5.1

Somma $- 8$ e $12$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4 - 135}{27}$

Passaggio 15.2.5.2

Sottrai $135$ da $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 131}{27}$

Passaggio 15.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{131}{27}$

Passaggio 15.2.6

La risposta finale è $- \frac{131}{27}$ .

$y = - \frac{131}{27}$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{3} + x^{2} - 5$ .

$(0, - 5)$ è un minimo locale

$(- \frac{2}{3}, - \frac{131}{27})$ è un massimo locale

Passaggio 17