Calcolo Esempi

$V (w) = (60 - 4 w) w^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d w} [f (w) g (w)]$ è $f (w) \frac{d}{d w} [g (w)] + g (w) \frac{d}{d w} [f (w)]$ dove $f (w) = 60 - 4 w$ e $g (w) = w^{2}$ .

$(60 - 4 w) \frac{d}{d w} [w^{2}] + w^{2} \frac{d}{d w} [60 - 4 w]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ è $n w^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(60 - 4 w) (2 w) + w^{2} \frac{d}{d w} [60 - 4 w]$

Passaggio 1.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $60 - 4 w$ .

$2 \cdot (60 - 4 w) w + w^{2} \frac{d}{d w} [60 - 4 w]$

Passaggio 1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $60 - 4 w$ rispetto a $w$ è $\frac{d}{d w} [60] + \frac{d}{d w} [- 4 w]$ .

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} (\frac{d}{d w} [60] + \frac{d}{d w} [- 4 w])$

Passaggio 1.2.4

Poiché $60$ è costante rispetto a $w$ , la derivata di $60$ rispetto a $w$ è $0$ .

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} (0 + \frac{d}{d w} [- 4 w])$

Passaggio 1.2.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d w} [- 4 w]$ .

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} \frac{d}{d w} [- 4 w]$

Passaggio 1.2.6

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $w$ , la derivata di $- 4 w$ rispetto a $w$ è $- 4 \frac{d}{d w} [w]$ .

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} (- 4 \frac{d}{d w} [w])$

Passaggio 1.2.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ è $n w^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} (- 4 \cdot 1)$

Passaggio 1.2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} \cdot - 4$

Passaggio 1.2.8.2

Sposta $- 4$ alla sinistra di $w^{2}$ .

$2 (60 - 4 w) w - 4 \cdot w^{2}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$(2 \cdot 60 + 2 (- 4 w)) w - 4 w^{2}$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cdot 60 w + 2 (- 4 w) w - 4 w^{2}$

Passaggio 1.3.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Moltiplica $2$ per $60$ .

$120 w + 2 (- 4 w) w - 4 w^{2}$

Passaggio 1.3.3.2

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$120 w - 8 w \cdot w - 4 w^{2}$

Passaggio 1.3.3.3

Eleva $w$ alla potenza di $1$ .

$120 w - 8 (w^{1} w) - 4 w^{2}$

Passaggio 1.3.3.4

Eleva $w$ alla potenza di $1$ .

$120 w - 8 (w^{1} w^{1}) - 4 w^{2}$

Passaggio 1.3.3.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$120 w - 8 w^{1 + 1} - 4 w^{2}$

Passaggio 1.3.3.6

Somma $1$ e $1$ .

$120 w - 8 w^{2} - 4 w^{2}$

Passaggio 1.3.3.7

Sottrai $4 w^{2}$ da $- 8 w^{2}$ .

$120 w - 12 w^{2}$

Passaggio 1.3.4

Riordina i termini.

$- 12 w^{2} + 120 w$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 12 w^{2} + 120 w$ rispetto a $w$ è $\frac{d}{d w} [- 12 w^{2}] + \frac{d}{d w} [120 w]$ .

$V'' (w) = \frac{d}{d w} (- 12 w^{2}) + \frac{d}{d w} (120 w)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d w} [- 12 w^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $w$ , la derivata di $- 12 w^{2}$ rispetto a $w$ è $- 12 \frac{d}{d w} [w^{2}]$ .

$V'' (w) = - 12 \frac{d}{d w} w^{2} + \frac{d}{d w} (120 w)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ è $n w^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$V'' (w) = - 12 (2 w) + \frac{d}{d w} (120 w)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 12$ .

$V'' (w) = - 24 w + \frac{d}{d w} (120 w)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d w} [120 w]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $120$ è costante rispetto a $w$ , la derivata di $120 w$ rispetto a $w$ è $120 \frac{d}{d w} [w]$ .

$V'' (w) = - 24 w + 120 \frac{d}{d w} (w)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ è $n w^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$V'' (w) = - 24 w + 120 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $120$ per $1$ .

$V'' (w) = - 24 w + 120$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 12 w^{2} + 120 w = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d w} [f (w) g (w)]$ è $f (w) \frac{d}{d w} [g (w)] + g (w) \frac{d}{d w} [f (w)]$ dove $f (w) = 60 - 4 w$ e $g (w) = w^{2}$ .

$(60 - 4 w) \frac{d}{d w} [w^{2}] + w^{2} \frac{d}{d w} [60 - 4 w]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ è $n w^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(60 - 4 w) (2 w) + w^{2} \frac{d}{d w} [60 - 4 w]$

Passaggio 4.1.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $60 - 4 w$ .

$2 \cdot (60 - 4 w) w + w^{2} \frac{d}{d w} [60 - 4 w]$

Passaggio 4.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $60 - 4 w$ rispetto a $w$ è $\frac{d}{d w} [60] + \frac{d}{d w} [- 4 w]$ .

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} (\frac{d}{d w} [60] + \frac{d}{d w} [- 4 w])$

Passaggio 4.1.2.4

Poiché $60$ è costante rispetto a $w$ , la derivata di $60$ rispetto a $w$ è $0$ .

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} (0 + \frac{d}{d w} [- 4 w])$

Passaggio 4.1.2.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d w} [- 4 w]$ .

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} \frac{d}{d w} [- 4 w]$

Passaggio 4.1.2.6

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $w$ , la derivata di $- 4 w$ rispetto a $w$ è $- 4 \frac{d}{d w} [w]$ .

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} (- 4 \frac{d}{d w} [w])$

Passaggio 4.1.2.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ è $n w^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} (- 4 \cdot 1)$

Passaggio 4.1.2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.8.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} \cdot - 4$

Passaggio 4.1.2.8.2

Sposta $- 4$ alla sinistra di $w^{2}$ .

$2 (60 - 4 w) w - 4 \cdot w^{2}$

Passaggio 4.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$(2 \cdot 60 + 2 (- 4 w)) w - 4 w^{2}$

Passaggio 4.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cdot 60 w + 2 (- 4 w) w - 4 w^{2}$

Passaggio 4.1.3.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1

Moltiplica $2$ per $60$ .

$120 w + 2 (- 4 w) w - 4 w^{2}$

Passaggio 4.1.3.3.2

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$120 w - 8 w \cdot w - 4 w^{2}$

Passaggio 4.1.3.3.3

Eleva $w$ alla potenza di $1$ .

$120 w - 8 (w^{1} w) - 4 w^{2}$

Passaggio 4.1.3.3.4

Eleva $w$ alla potenza di $1$ .

$120 w - 8 (w^{1} w^{1}) - 4 w^{2}$

Passaggio 4.1.3.3.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$120 w - 8 w^{1 + 1} - 4 w^{2}$

Passaggio 4.1.3.3.6

Somma $1$ e $1$ .

$120 w - 8 w^{2} - 4 w^{2}$

Passaggio 4.1.3.3.7

Sottrai $4 w^{2}$ da $- 8 w^{2}$ .

$120 w - 12 w^{2}$

Passaggio 4.1.3.4

Riordina i termini.

$f' (w) = - 12 w^{2} + 120 w$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $V (w)$ rispetto a $w$ è $- 12 w^{2} + 120 w$ .

$- 12 w^{2} + 120 w$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 12 w^{2} + 120 w = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 12 w^{2} + 120 w = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi $- 12 w$ da $- 12 w^{2} + 120 w$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $- 12 w$ da $- 12 w^{2}$ .

$- 12 w \cdot w + 120 w = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $- 12 w$ da $120 w$ .

$- 12 w \cdot w - 12 w \cdot - 10 = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $- 12 w$ da $- 12 w (w) - 12 w (- 10)$ .

$- 12 w (w - 10) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$w = 0$

$w - 10 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $w$ uguale a $0$ .

$w = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $w - 10$ uguale a $0$ e risolvi per $w$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $w - 10$ uguale a $0$ .

$w - 10 = 0$

Passaggio 5.5.2

Somma $10$ a entrambi i lati dell'equazione.

$w = 10$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 12 w (w - 10) = 0$ vera.

$w = 0, 10$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$w = 0, 10$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $w = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 24 \cdot 0 + 120$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $- 24$ per $0$ .

$0 + 120$

Passaggio 9.2

Somma $0$ e $120$ .

$120$

Passaggio 10

$w = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$w = 0$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $w = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $w$ con $0$ nell'espressione.

$V (0) = (60 - 4 \cdot 0) {(0)}^{2}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$V (0) = (60 + 0) {(0)}^{2}$

Passaggio 11.2.2

Somma $60$ e $0$ .

$V (0) = 60 {(0)}^{2}$

Passaggio 11.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$V (0) = 60 \cdot 0$

Passaggio 11.2.4

Moltiplica $60$ per $0$ .

$V (0) = 0$

Passaggio 11.2.5

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $w = 10$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 24 \cdot 10 + 120$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Moltiplica $- 24$ per $10$ .

$- 240 + 120$

Passaggio 13.2

Somma $- 240$ e $120$ .

$- 120$

Passaggio 14

$w = 10$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$w = 10$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $w = 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $w$ con $10$ nell'espressione.

$V (10) = (60 - 4 \cdot 10) {(10)}^{2}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Moltiplica $- 4$ per $10$ .

$V (10) = (60 - 40) {(10)}^{2}$

Passaggio 15.2.2

Sottrai $40$ da $60$ .

$V (10) = 20 {(10)}^{2}$

Passaggio 15.2.3

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$V (10) = 20 \cdot 100$

Passaggio 15.2.4

Moltiplica $20$ per $100$ .

$V (10) = 2000$

Passaggio 15.2.5

La risposta finale è $2000$ .

$y = 2000$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $V (w) = (60 - 4 w) w^{2}$ .

$(0, 0)$ è un minimo locale

$(10, 2000)$ è un massimo locale

Passaggio 17