Calcolo Esempi

$\frac{d}{d x} (\arctan (x) + 2 \sqrt{x})$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\arctan (x) + 2 \sqrt{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Passaggio 2

La derivata di $\arctan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$ .

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Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 3.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 3.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{1 + x^{2}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 3.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 3.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{1 + x^{2}} + 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 3.9

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 3.10

$2$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 3.11

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.12

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.13

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.1.1

Per scrivere $\frac{1}{1 + x^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.2

Per scrivere $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$

Passaggio 4.1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(1 + x^{2}) x^{\frac{1}{2}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 4.1.3.1

Moltiplica $\frac{1}{1 + x^{2}}$ per $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{(1 + x^{2}) x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2

Moltiplica $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{(1 + x^{2}) x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1 + x^{2}}{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})}$

Passaggio 4.1.3.3

Riordina i fattori di $(1 + x^{2}) x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})} + \frac{1 + x^{2}}{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})}$

Passaggio 4.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{2}}{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})}$

Passaggio 4.2

Riordina i termini.

$\frac{x^{2} + x^{\frac{1}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})}$