Calcolo Esempi

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Passaggio 1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2.3

Elimina il fattore comune.

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\int_{1}^{e} \frac{x}{1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2.5

Dividi $x$ per $1$ .

$\int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} + \ln (| x |)]_{1}^{e}$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e}$ e $\ln (| x |)]_{1}^{e}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)]_{1}^{e}$

Passaggio 6.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Calcola $\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)$ per $e$ e per $1$ .

$(\frac{1}{2} e^{2} + \ln (| e |)) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

$\frac{1}{2}$ e $e^{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.2.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} \cdot 1 + \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.2.2.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.2.2.4

Per scrivere $- (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} - (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |)) \cdot \frac{2}{2} + \ln (| e |)$

Passaggio 6.2.2.5

$- (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \frac{- (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} + \ln (| e |)$

Passaggio 6.2.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{e^{2} - (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} + \ln (| e |)$

Passaggio 6.2.2.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))}{2} + \ln (| e |)$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + \ln (1))}{2} + \ln (| e |)$

Passaggio 7.1.1.1.2

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + 0)}{2} + \ln (| e |)$

Passaggio 7.1.1.2

Somma $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2})}{2} + \ln (| e |)$

Passaggio 7.1.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{e^{2} + 2 (- 1) \frac{1}{2}}{2} + \ln (| e |)$

Passaggio 7.1.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{2} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2}}{2} + \ln (| e |)$

Passaggio 7.1.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{e^{2} - 1}{2} + \ln (| e |)$

Passaggio 7.1.1.4

Riscrivi $e^{2} - 1$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.4.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{e^{2} - 1^{2}}{2} + \ln (| e |)$

Passaggio 7.1.1.4.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = e$ e $b = 1$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \ln (| e |)$

Passaggio 7.1.2

$e$ corrisponde approssimativamente a $2.71828182$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \ln (e)$

Passaggio 7.1.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + 1$

Passaggio 7.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \frac{2}{2}$

Passaggio 7.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(e + 1) (e - 1) + 2}{2}$

Passaggio 7.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Espandi $(e + 1) (e - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e (e - 1) + 1 (e - 1) + 2}{2}$

Passaggio 7.4.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e e + e \cdot - 1 + 1 (e - 1) + 2}{2}$

Passaggio 7.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e e + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

Passaggio 7.4.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1.1

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e$ .

$\frac{e e - 1 \cdot e + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

Passaggio 7.4.2.1.2

Riscrivi $- 1 e$ come $- e$ .

$\frac{e e - e + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

Passaggio 7.4.2.1.3

Moltiplica $e$ per $1$ .

$\frac{e e - e + e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

Passaggio 7.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{e e - e + e - 1 + 2}{2}$

Passaggio 7.4.2.2

Somma $- e$ e $e$ .

$\frac{e e + 0 - 1 + 2}{2}$

Passaggio 7.4.2.3

Somma $e e$ e $0$ .

$\frac{e e - 1 + 2}{2}$

Passaggio 7.4.3

Somma $- 1$ e $2$ .

$\frac{e e + 1}{2}$

Passaggio 7.4.4

Moltiplica $e e$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.4.1

Eleva $e$ alla potenza di $1$ .

$\frac{e^{1} e + 1}{2}$

Passaggio 7.4.4.2

Eleva $e$ alla potenza di $1$ .

$\frac{e^{1} e^{1} + 1}{2}$

Passaggio 7.4.4.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{e^{1 + 1} + 1}{2}$

Passaggio 7.4.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{e^{2} + 1}{2}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{e^{2} + 1}{2}$

Forma decimale:

$4.19452804 \dots$

Passaggio 9