Calcolo Esempi

$\int \frac{6}{2 x + 3 x^{2}} d x$

Passaggio 1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$6 \int \frac{1}{2 x + 3 x^{2}} d x$

Passaggio 2

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scomponi $x$ da $2 x + 3 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$\frac{1}{x \cdot 2 + 3 x^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2

Scomponi $x$ da $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{x \cdot 2 + x (3 x)}$

Passaggio 2.1.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot 2 + x (3 x)$ .

$\frac{1}{x \cdot (2 + 3 x)}$

Passaggio 2.1.1.4

Moltiplica $x$ per $2 + 3 x$ .

$\frac{1}{x (2 + 3 x)}$

Passaggio 2.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{2 + 3 x}$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x (2 + 3 x)$ .

$\frac{1 (x (2 + 3 x))}{x (2 + 3 x)} = \frac{A (x (2 + 3 x))}{x} + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

Passaggio 2.1.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (x (2 + 3 x))}{x (2 + 3 x)} = \frac{A (x (2 + 3 x))}{x} + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

Passaggio 2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (2 + 3 x)}{2 + 3 x} = \frac{A (x (2 + 3 x))}{x} + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

Passaggio 2.1.5

Elimina il fattore comune di $2 + 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (2 + 3 x)}{2 + 3 x} = \frac{A (x (2 + 3 x))}{x} + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

Passaggio 2.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{A (x (2 + 3 x))}{x} + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

Passaggio 2.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (x (2 + 3 x))}{x} + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

Passaggio 2.1.6.1.2

Dividi $A (2 + 3 x)$ per $1$ .

$1 = A (2 + 3 x) + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

Passaggio 2.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A \cdot 2 + A (3 x) + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

Passaggio 2.1.6.3

Sposta $2$ alla sinistra di $A$ .

$1 = 2 \cdot A + A (3 x) + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

Passaggio 2.1.6.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = 2 \cdot A + 3 A x + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

Passaggio 2.1.6.5

Elimina il fattore comune di $2 + 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.5.1

Elimina il fattore comune.

$1 = 2 A + 3 A x + \frac{B (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

Passaggio 2.1.6.5.2

Dividi $(B) (x)$ per $1$ .

$1 = 2 A + 3 A x + (B) (x)$

$1 = 2 A + 3 A x + B x$

Passaggio 2.1.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.1

Sposta $A$ .

$1 = 2 A + 3 x A + B x$

Passaggio 2.1.7.2

Riordina $B$ e $x$ .

$1 = 2 A + 3 x A + B x$

Passaggio 2.1.7.3

Sposta $2 A$ .

$1 = 3 x A + B x + 2 A$

Passaggio 2.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = 3 A + B$

Passaggio 2.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = 2 A$

Passaggio 2.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = 3 A + B$

$1 = 2 A$

$0 = 3 A + B$

$1 = 2 A$

Passaggio 2.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Risolvi per $A$ in $1 = 2 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $2 A = 1$ .

$2 A = 1$

$0 = 3 A + B$

Passaggio 2.3.1.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 A = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 A = 1$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

Passaggio 2.3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 A}{2} = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

Passaggio 2.3.1.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

Passaggio 2.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $\frac{1}{2}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = 3 A + B$ con $\frac{1}{2}$ .

$0 = 3 (\frac{1}{2}) + B$

$A = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

$3$ e $\frac{1}{2}$ .

$0 = \frac{3}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = \frac{3}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = \frac{3}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.3.3

Risolvi per $B$ in $0 = \frac{3}{2} + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{3}{2} + B = 0$ .

$\frac{3}{2} + B = 0$

$A = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Sottrai $\frac{3}{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = - \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = - \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.3.4

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = - \frac{3}{2} A = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$B = - \frac{3}{2}, A = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x} + \frac{B}{2 + 3 x}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{- \frac{3}{2}}{2 + 3 x}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- \frac{3}{2}}{2 + 3 x}$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2 x} + \frac{- \frac{3}{2}}{2 + 3 x}$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{2 x} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2 + 3 x}$

Passaggio 2.5.4

Moltiplica $\frac{1}{2 + 3 x}$ per $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2 x} - \frac{3}{(2 + 3 x) \cdot 2}$

Passaggio 2.5.5

Sposta $2$ alla sinistra di $2 + 3 x$ .

$6 \int \frac{1}{2 x} - \frac{3}{2 (2 + 3 x)} d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$6 (\int \frac{1}{2 x} d x + \int - \frac{3}{2 (2 + 3 x)} d x)$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$6 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{3}{2 (2 + 3 x)} d x)$

Passaggio 5

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{3}{2 (2 + 3 x)} d x)$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \int \frac{3}{2 (2 + 3 x)} d x)$

Passaggio 7

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{3}{2}$ fuori dall'integrale.

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - (\frac{3}{2} \int \frac{1}{2 + 3 x} d x))$

Passaggio 8

Sia $u = 2 + 3 x$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sia $u = 2 + 3 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Differenzia $2 + 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 + 3 x]$

Passaggio 8.1.2

Differenzia.

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Passaggio 8.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 + 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 8.1.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 8.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 3 \cdot 1$

Passaggio 8.1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$0 + 3$

Passaggio 8.1.4

Somma $0$ e $3$ .

$3$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u)$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{3}$ .

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u \cdot 3} d u)$

Passaggio 9.2

Sposta $3$ alla sinistra di $u$ .

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3}{2} \int \frac{1}{3 u} d u)$

Passaggio 10

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3}{2} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u))$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{3}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 11.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3}{6} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 11.3

Elimina il fattore comune di $3$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 11.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 11.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 11.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 12

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C))$

Passaggio 13

Semplifica.

$6 (\frac{1}{2} \ln (| x |) - \frac{1}{2} \ln (| u |)) + C$

Passaggio 14

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 + 3 x$ .

$6 (\frac{1}{2} \ln (| x |) - \frac{1}{2} \ln (| 2 + 3 x |)) + C$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

$\frac{1}{2}$ e $\ln (| x |)$ .

$6 (\frac{\ln (| x |)}{2} - \frac{1}{2} \ln (| 2 + 3 x |)) + C$

Passaggio 15.1.2

$\ln (| 2 + 3 x |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$6 (\frac{\ln (| x |)}{2} - \frac{\ln (| 2 + 3 x |)}{2}) + C$

Passaggio 15.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$6 \frac{\ln (| x |) - \ln (| 2 + 3 x |)}{2} + C$

Passaggio 15.3

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$6 \frac{\ln (\frac{| x |}{| 2 + 3 x |})}{2} + C$

Passaggio 15.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$2 (3) \frac{\ln (\frac{| x |}{| 2 + 3 x |})}{2} + C$

Passaggio 15.4.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 3 \frac{\ln (\frac{| x |}{| 2 + 3 x |})}{2} + C$

Passaggio 15.4.3

Riscrivi l'espressione.

$3 \ln (\frac{| x |}{| 2 + 3 x |}) + C$