Calcolo Esempi

$- x y^{2} + x + 4 - y^{3} = 0$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (- x y^{2} + x + 4 - y^{3}) = \frac{d}{d x} (0)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x y^{2} + x + 4 - y^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x y^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y^{2}$ .

$- (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $y$ .

$- (x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- (x (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y$ .

$- (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.2.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.2.6

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$- (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 1 + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 1 + 0 + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 1 + 0 - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 1 + 0 - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 1 + 0 - (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 1 + 0 - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.4.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 1 + 0 - (3 y^{2} y')$

Passaggio 2.4.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 1 + 0 - 3 y^{2} y'$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$- (2 x y y') - y^{2} + 1 + 0 - 3 y^{2} y'$

Passaggio 2.5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 (x y y') - y^{2} + 1 + 0 - 3 y^{2} y'$

Passaggio 2.5.2.2

Somma $- 2 x y y' - y^{2} + 1$ e $0$ .

$- 2 x y y' - y^{2} + 1 - 3 y^{2} y'$

Passaggio 2.5.3

Riordina i termini.

$- y^{2} - 2 x y y' - 3 y^{2} y' + 1$

Passaggio 3

Poiché $0$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- y^{2} - 2 x y y' - 3 y^{2} y' + 1 = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Somma $y^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x y y' - 3 y^{2} y' + 1 = y^{2}$

Passaggio 5.1.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x y y' - 3 y^{2} y' = y^{2} - 1$

Passaggio 5.2

Scomponi $y y'$ da $- 2 x y y' - 3 y^{2} y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $y y'$ da $- 2 x y y'$ .

$y y' (- 2 x) - 3 y^{2} y' = y^{2} - 1$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $y y'$ da $- 3 y^{2} y'$ .

$y y' (- 2 x) + y y' (- 3 y) = y^{2} - 1$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $y y'$ da $y y' (- 2 x) + y y' (- 3 y)$ .

$y y' (- 2 x - 3 y) = y^{2} - 1$

Passaggio 5.3

Dividi per $y (- 2 x - 3 y)$ ciascun termine in $y y' (- 2 x - 3 y) = y^{2} - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $y (- 2 x - 3 y)$ ciascun termine in $y y' (- 2 x - 3 y) = y^{2} - 1$ .

$\frac{y y' (- 2 x - 3 y)}{y (- 2 x - 3 y)} = \frac{y^{2}}{y (- 2 x - 3 y)} + \frac{- 1}{y (- 2 x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y' (- 2 x - 3 y)}{y (- 2 x - 3 y)} = \frac{y^{2}}{y (- 2 x - 3 y)} + \frac{- 1}{y (- 2 x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (- 2 x - 3 y)}{- 2 x - 3 y} = \frac{y^{2}}{y (- 2 x - 3 y)} + \frac{- 1}{y (- 2 x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 2 x - 3 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (- 2 x - 3 y)}{- 2 x - 3 y} = \frac{y^{2}}{y (- 2 x - 3 y)} + \frac{- 1}{y (- 2 x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{y^{2}}{y (- 2 x - 3 y)} + \frac{- 1}{y (- 2 x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{y (- 2 x - 3 y)} + \frac{- 1}{y (- 2 x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{y \cdot y}{y (- 2 x - 3 y)} + \frac{- 1}{y (- 2 x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{y}{- 2 x - 3 y} + \frac{- 1}{y (- 2 x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{y}{- 2 x - 3 y} - \frac{1}{y (- 2 x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.3.2

Per scrivere $\frac{y}{- 2 x - 3 y}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{y}{- 2 x - 3 y} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{y (- 2 x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(- 2 x - 3 y) y$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Moltiplica $\frac{y}{- 2 x - 3 y}$ per $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{(- 2 x - 3 y) y} - \frac{1}{y (- 2 x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Riordina i fattori di $(- 2 x - 3 y) y$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{y (- 2 x - 3 y)} - \frac{1}{y (- 2 x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{y \cdot y - 1}{y (- 2 x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y' = \frac{y^{1} y - 1}{y (- 2 x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.3.5.2

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y' = \frac{y^{1} y^{1} - 1}{y (- 2 x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.3.5.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' = \frac{y^{1 + 1} - 1}{y (- 2 x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.3.5.4

Somma $1$ e $1$ .

$y' = \frac{y^{2} - 1}{y (- 2 x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.3.5.5

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y' = \frac{y^{2} - 1^{2}}{y (- 2 x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.3.5.6

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = y$ e $b = 1$ .

$y' = \frac{(y + 1) (y - 1)}{y (- 2 x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.3.6

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.6.1

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$y' = \frac{(y + 1) (y - 1)}{y (- (2 x) - 3 y)}$

Passaggio 5.3.3.6.2

Scomponi $- 1$ da $- 3 y$ .

$y' = \frac{(y + 1) (y - 1)}{y (- (2 x) - (3 y))}$

Passaggio 5.3.3.6.3

Scomponi $- 1$ da $- (2 x) - (3 y)$ .

$y' = \frac{(y + 1) (y - 1)}{y (- (2 x + 3 y))}$

Passaggio 5.3.3.6.4

Riscrivi i negativi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.6.4.1

Riscrivi $- (2 x + 3 y)$ come $- 1 (2 x + 3 y)$ .

$y' = \frac{(y + 1) (y - 1)}{y (- 1 (2 x + 3 y))}$

Passaggio 5.3.3.6.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{(y + 1) (y - 1)}{y (2 x + 3 y)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(y + 1) (y - 1)}{y (2 x + 3 y)}$