Calcolo Esempi

$\int \frac{3 x (7^{x^{2}})}{7^{x^{2}} - 5} d x$

Passaggio 1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int \frac{x \cdot (7^{x^{2}})}{7^{x^{2}} - 5} d x$

Passaggio 2

Sia $u_{1} = x^{2}$ . Allora $d u_{1} = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u_{1} = x^{2}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$3 \int \frac{7^{u_{1}}}{7^{u_{1}} - 5} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{7^{u_{1}}}{7^{u_{1}} - 5}$ per $\frac{1}{2}$ .

$3 \int \frac{7^{u_{1}}}{(7^{u_{1}} - 5) \cdot 2} d u_{1}$

Passaggio 3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $7^{u_{1}} - 5$ .

$3 \int \frac{7^{u_{1}}}{2 (7^{u_{1}} - 5)} d u_{1}$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$3 (\frac{1}{2} \int \frac{7^{u_{1}}}{7^{u_{1}} - 5} d u_{1})$

Passaggio 5

$\frac{1}{2}$ e $3$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{7^{u_{1}}}{7^{u_{1}} - 5} d u_{1}$

Passaggio 6

Sia $u_{2} = 7^{u_{1}} - 5$ . Allora $d u_{2} = 7^{u_{1}} \ln (7) d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{\ln (7)} d u_{2} = 7^{u_{1}} d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 6.1

Sia $u_{2} = 7^{u_{1}} - 5$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Passaggio 6.1.1

Differenzia $7^{u_{1}} - 5$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [7^{u_{1}} - 5]$

Passaggio 6.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $7^{u_{1}} - 5$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{d}{d u_{1}} [7^{u_{1}}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 5]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [7^{u_{1}}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 5]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $7$ .

$7^{u_{1}} \ln (7) + \frac{d}{d u_{1}} [- 5]$

Passaggio 6.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 6.1.4.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $u_{1}$ è $0$ .

$7^{u_{1}} \ln (7) + 0$

Passaggio 6.1.4.2

Somma $7^{u_{1}} \ln (7)$ e $0$ .

$7^{u_{1}} \ln (7)$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{\ln (7)} d u_{2}$

Passaggio 7

Moltiplica $\frac{1}{u_{2}}$ per $\frac{1}{\ln (7)}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2} \ln (7)} d u_{2}$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{\ln (7)}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{\ln (7)}$ fuori dall'integrale.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{\ln (7)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Moltiplica $\frac{1}{\ln (7)}$ per $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{\ln (7) \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 9.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\ln (7)$ .

$\frac{3}{2 \ln (7)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 10

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{3}{2 \ln (7)} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Passaggio 11

Semplifica.

$\frac{3}{2 \ln (7)} \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 12

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 12.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $7^{u_{1}} - 5$ .

$\frac{3}{2 \ln (7)} \ln (| 7^{u_{1}} - 5 |) + C$

Passaggio 12.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$\frac{3}{2 \ln (7)} \ln (| 7^{x^{2}} - 5 |) + C$