Calcolo Esempi

$\frac{d}{d x} (e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x))$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x} + e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x} + e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

Passaggio 4

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.1

Riordina $e^{x}$ e $- 1$ .

$e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x) - 1 \cdot e^{x} \sin (x) + \cos (x) e^{x}$

Passaggio 4.2

Riscrivi $- 1 e^{x}$ come $- e^{x}$ .

$e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x) - e^{x} \sin (x) + \cos (x) e^{x}$

Passaggio 4.3

Sottrai $e^{x} \sin (x)$ da $e^{x} \sin (x)$ .

$e^{x} \cos (x) + 0 + \cos (x) e^{x}$

Passaggio 4.4

Somma $e^{x} \cos (x)$ e $0$ .

$e^{x} \cos (x) + \cos (x) e^{x}$

Passaggio 4.5

Somma $e^{x} \cos (x)$ e $\cos (x) e^{x}$ .

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Passaggio 4.5.1

Riordina $\cos (x)$ e $e^{x}$ .

$e^{x} \cos (x) + e^{x} \cos (x)$

Passaggio 4.5.2

Somma $e^{x} \cos (x)$ e $e^{x} \cos (x)$ .

$2 e^{x} \cos (x)$