Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{1}{4}} \frac{8 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Passaggio 1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$8 \int_{0}^{\frac{1}{4}} \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 1 - 4 x^{2}$ . Allora $d u = - 8 x d x$ , quindi $- \frac{1}{8} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u = 1 - 4 x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $1 - 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - 4 (2 x)$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$0 - 8 x$

Passaggio 2.1.4

Sottrai $8 x$ da $0$ .

$- 8 x$

Passaggio 2.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 1 - 4 x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 0^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 0$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 2.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 1 - 4 x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - 4 {(\frac{1}{4})}^{2}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{4}$ .

$u_{upper} = 1 - 4 \frac{1^{2}}{4^{2}}$

Passaggio 2.5.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = 1 - 4 \frac{1}{4^{2}}$

Passaggio 2.5.1.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$u_{upper} = 1 - 4 (\frac{1}{16})$

Passaggio 2.5.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.4.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$u_{upper} = 1 + 4 (- 1) \frac{1}{16}$

Passaggio 2.5.1.4.2

Scomponi $4$ da $16$ .

$u_{upper} = 1 + 4 \cdot - 1 \frac{1}{4 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 1 + 4 \cdot - 1 \frac{1}{4 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = 1 - 1 (\frac{1}{4})$

Passaggio 2.5.1.5

Riscrivi $- 1 (\frac{1}{4})$ come $- (\frac{1}{4})$ .

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.5.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$u_{upper} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$u_{upper} = \frac{4 - 1}{4}$

Passaggio 2.5.4

Sottrai $1$ da $4$ .

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 8} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{8}) d u$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ per $\frac{1}{8}$ .

$8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 8} d u$

Passaggio 3.3

Sposta $8$ alla sinistra di $\sqrt{u}$ .

$8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$8 (- \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u)$

Passaggio 5

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$- 8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{8}$ fuori dall'integrale.

$- 8 (\frac{1}{8} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Passaggio 7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 7.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

$\frac{1}{8}$ e $- 8$ .

$\frac{- 8}{8} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 7.1.2

Elimina il fattore comune di $- 8$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Scomponi $8$ da $- 8$ .

$\frac{8 \cdot - 1}{8} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 7.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.2.1

Scomponi $8$ da $8$ .

$\frac{8 \cdot - 1}{8 (1)} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 7.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 \cdot - 1}{8 \cdot 1} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 7.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{1} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 7.1.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 7.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 7.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 7.2.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 7.2.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 7.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{\frac{3}{4}})$

Passaggio 9

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 9.1

Calcola $2 u^{\frac{1}{2}}$ per $\frac{3}{4}$ e per $1$ .

$- ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 9.2

Semplifica.

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Passaggio 9.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1)$

Passaggio 9.2.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{4}$ .

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}} - 2)$

Passaggio 10.1.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 2)$

Passaggio 10.1.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - 2)$

Passaggio 10.1.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - 2)$

Passaggio 10.1.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{1}} - 2)$

Passaggio 10.1.2.4

Calcola l'esponente.

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2} - 2)$

Passaggio 10.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2} - 2)$

Passaggio 10.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- (3^{\frac{1}{2}} - 2)$

Passaggio 10.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 3^{\frac{1}{2}} - - 2$

Passaggio 10.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$- 3^{\frac{1}{2}} + 2$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- 3^{\frac{1}{2}} + 2$

Forma decimale:

$0.26794919 \dots$

Passaggio 12