Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} - 1$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 1)}{x^{2}}$

Passaggio 1.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - - 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.9.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} + 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.9.2.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.2.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.2.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot x^{3} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - (x^{2} + 1) (2 x)}{x^{4}}$

Passaggio 2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x^{2} + 1) x}{x^{4}}$

Passaggio 2.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{x^{4}}$

Passaggio 2.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x - 2 \cdot (1 x)}{x^{4}}$

Passaggio 2.7.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.3.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 \cdot (1 x)}{x^{4}}$

Passaggio 2.7.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.3.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 \cdot (1 x)}{x^{4}}$

Passaggio 2.7.3.1.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} - 2 \cdot (1 x)}{x^{4}}$

Passaggio 2.7.3.1.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot (1 x)}{x^{4}}$

Passaggio 2.7.3.1.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 x}{x^{4}}$

Passaggio 2.7.3.2

Sottrai $2 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{0 - 2 x}{x^{4}}$

Passaggio 2.7.3.3

Sottrai $2 x$ da $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x}{x^{4}}$

Passaggio 2.7.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.1

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.1.1

Scomponi $x$ da $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 2}{x^{4}}$

Passaggio 2.7.4.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.1.2.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 2.7.4.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 2.7.4.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{- 2}{x^{3}}$

Passaggio 2.7.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2}} = 0$

Passaggio 4

Poiché non c'è alcun valore di $x$ che rende la derivata prima uguale a $0$ , non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 5

Nessun estremo locale

Passaggio 6