Calcolo Esempi

$y = x^{5 \sin (x)}$

Passaggio 1

Data $y = f (x)$ , trova il logaritmo naturale di entrambi i lati $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{5 \sin (x)})$

Passaggio 2

Espandi $\ln (x^{5 \sin (x)})$ spostando $5 \sin (x)$ fuori dal logaritmo.

$\ln (y) = 5 \sin (x) \ln (x)$

Passaggio 3

Differenzia l'espressione usando la regola della catena, tenendo a mente che $y$ è una funzione di $x$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia $\ln (y)$ sul lato sinistro usando la regola della catena.

$\frac{y'}{y} = 5 \sin (x) \ln (x)$

Passaggio 3.2

Differenzia il lato destro.

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Passaggio 3.2.1

Differenzia $5 \sin (x) \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [5 \sin (x) \ln (x)]$

Passaggio 3.2.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 \sin (x) \ln (x)$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$ .

$\frac{y'}{y} = 5 \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = 5 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 3.2.4

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 5 (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 3.2.5

$\sin (x)$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 5 (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 3.2.6

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = 5 (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x))$

Passaggio 3.2.7

Semplifica.

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Passaggio 3.2.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y'}{y} = 5 \frac{\sin (x)}{x} + 5 (\ln (x) \cos (x))$

Passaggio 3.2.7.2

$5$ e $\frac{\sin (x)}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{5 \sin (x)}{x} + 5 \ln (x) \cos (x)$

Passaggio 3.2.7.3

Riordina i termini.

$\frac{y'}{y} = 5 \cos (x) \ln (x) + \frac{5 \sin (x)}{x}$

Passaggio 4

Isola $y'$ e sostituisci la funzione originale a $y$ nel lato destro.

$y' = (5 \cos (x) \ln (x) + \frac{5 \sin (x)}{x}) x^{5 \sin (x)}$

Passaggio 5

Semplifica il lato di destra.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $5 \cos (x) \ln (x)$ .

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Passaggio 5.1.1

Riordina $\ln (x)$ e $5$ .

$y' = (5 \cdot \ln (x) \cos (x) + \frac{5 \sin (x)}{x}) x^{5 \sin (x)}$

Passaggio 5.1.2

Semplifica $5 \cdot \ln (x)$ spostando $5$ all'interno del logaritmo.

$y' = (\ln (x^{5}) \cos (x) + \frac{5 \sin (x)}{x}) x^{5 \sin (x)}$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{5 \sin (x)}{x} x^{5 \sin (x)}$

Passaggio 5.3

$\frac{5 \sin (x)}{x}$ e $x^{5 \sin (x)}$ .

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{5 \sin (x) x^{5 \sin (x)}}{x}$

Passaggio 5.4

Elimina il fattore comune di $x^{5 \sin (x)}$ e $x$ .

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Passaggio 5.4.1

Scomponi $x$ da $5 \sin (x) x^{5 \sin (x)}$ .

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{x (5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1})}{x}$

Passaggio 5.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{x (5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1})}{x^{1}}$

Passaggio 5.4.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{x (5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Passaggio 5.4.2.3

Elimina il fattore comune.

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{x (5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Passaggio 5.4.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1}}{1}$

Passaggio 5.4.2.5

Dividi $5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1}$ per $1$ .

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + 5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1}$

Passaggio 5.5

Riordina i fattori in $\ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + 5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1}$ .

$y' = x^{5 \sin (x)} \ln (x^{5}) \cos (x) + 5 x^{5 \sin (x) - 1} \sin (x)$