Calcolo Esempi

$f (x) = - x^{4} + 4 x^{2} - x - 2$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{4} + 4 x^{2} - x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 4 x^{3} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$- 4 x^{3} + 8 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x^{3} + 8 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 x^{3} + 8 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 4 x^{3} + 8 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 4 x^{3} + 8 x - 1 + 0$

Passaggio 1.5.2

Somma $- 4 x^{3} + 8 x - 1$ e $0$ .

$- 4 x^{3} + 8 x - 1$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 4 x^{3} + 8 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $8$ per $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8 + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $- 12 x^{2} + 8$ e $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 4 x^{3} + 8 x - 1 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{4} + 4 x^{2} - x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 4 x^{3} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$- 4 x^{3} + 8 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 4.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x^{3} + 8 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 x^{3} + 8 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 4.1.4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 4 x^{3} + 8 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 4.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 4 x^{3} + 8 x - 1 + 0$

Passaggio 4.1.5.2

Somma $- 4 x^{3} + 8 x - 1$ e $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 8 x - 1$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 4 x^{3} + 8 x - 1$ .

$- 4 x^{3} + 8 x - 1$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 4 x^{3} + 8 x - 1 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 4 x^{3} + 8 x - 1 = 0$

Passaggio 5.2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x \approx - 1.4729976, 0.12600019, 1.3469974$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - 1.4729976, 0.12600019, 1.3469974$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - 1.4729976$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 12 {(- 1.4729976)}^{2} + 8$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Eleva $- 1.4729976$ alla potenza di $2$ .

$- 12 \cdot 2.16972193 + 8$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $- 12$ per $2.16972193$ .

$- 26.03666319 + 8$

Passaggio 9.2

Somma $- 26.03666319$ e $8$ .

$- 18.03666319$

Passaggio 10

$x = - 1.4729976$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 1.4729976$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = - 1.4729976$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.4729976$ nell'espressione.

$f (- 1.4729976) = - {(- 1.4729976)}^{4} + 4 {(- 1.4729976)}^{2} - (- 1.4729976) - 2$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Eleva $- 1.4729976$ alla potenza di $4$ .

$f (- 1.4729976) = - 1 \cdot 4.70769326 + 4 {(- 1.4729976)}^{2} - (- 1.4729976) - 2$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4.70769326$ .

$f (- 1.4729976) = - 4.70769326 + 4 {(- 1.4729976)}^{2} - (- 1.4729976) - 2$

Passaggio 11.2.1.3

Eleva $- 1.4729976$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1.4729976) = - 4.70769326 + 4 \cdot 2.16972193 - (- 1.4729976) - 2$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $4$ per $2.16972193$ .

$f (- 1.4729976) = - 4.70769326 + 8.67888773 - (- 1.4729976) - 2$

Passaggio 11.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1.4729976$ .

$f (- 1.4729976) = - 4.70769326 + 8.67888773 + 1.4729976 - 2$

Passaggio 11.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Somma $- 4.70769326$ e $8.67888773$ .

$f (- 1.4729976) = 3.97119446 + 1.4729976 - 2$

Passaggio 11.2.2.2

Somma $3.97119446$ e $1.4729976$ .

$f (- 1.4729976) = 5.44419206 - 2$

Passaggio 11.2.2.3

Sottrai $2$ da $5.44419206$ .

$f (- 1.4729976) = 3.44419206$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $3.44419206$ .

$y = 3.44419206$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 0.12600019$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 12 {(0.12600019)}^{2} + 8$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Eleva $0.12600019$ alla potenza di $2$ .

$- 12 \cdot 0.01587604 + 8$

Passaggio 13.1.2

Moltiplica $- 12$ per $0.01587604$ .

$- 0.19051258 + 8$

Passaggio 13.2

Somma $- 0.19051258$ e $8$ .

$7.80948741$

Passaggio 14

$x = 0.12600019$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0.12600019$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = 0.12600019$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.12600019$ nell'espressione.

$f (0.12600019) = - {(0.12600019)}^{4} + 4 {(0.12600019)}^{2} - (0.12600019) - 2$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Eleva $0.12600019$ alla potenza di $4$ .

$f (0.12600019) = - 1 \cdot 0.00025204 + 4 {(0.12600019)}^{2} - (0.12600019) - 2$

Passaggio 15.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0.00025204$ .

$f (0.12600019) = - 0.00025204 + 4 {(0.12600019)}^{2} - (0.12600019) - 2$

Passaggio 15.2.1.3

Eleva $0.12600019$ alla potenza di $2$ .

$f (0.12600019) = - 0.00025204 + 4 \cdot 0.01587604 - (0.12600019) - 2$

Passaggio 15.2.1.4

Moltiplica $4$ per $0.01587604$ .

$f (0.12600019) = - 0.00025204 + 0.06350419 - (0.12600019) - 2$

Passaggio 15.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $0.12600019$ .

$f (0.12600019) = - 0.00025204 + 0.06350419 - 0.12600019 - 2$

Passaggio 15.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Somma $- 0.00025204$ e $0.06350419$ .

$f (0.12600019) = 0.06325214 - 0.12600019 - 2$

Passaggio 15.2.2.2

Sottrai $0.12600019$ da $0.06325214$ .

$f (0.12600019) = - 0.06274804 - 2$

Passaggio 15.2.2.3

Sottrai $2$ da $- 0.06274804$ .

$f (0.12600019) = - 2.06274804$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $- 2.06274804$ .

$y = - 2.06274804$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $x = 1.3469974$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 12 {(1.3469974)}^{2} + 8$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Eleva $1.3469974$ alla potenza di $2$ .

$- 12 \cdot 1.81440201 + 8$

Passaggio 17.1.2

Moltiplica $- 12$ per $1.81440201$ .

$- 21.77282422 + 8$

Passaggio 17.2

Somma $- 21.77282422$ e $8$ .

$- 13.77282422$

Passaggio 18

$x = 1.3469974$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1.3469974$ è un massimo locale

Passaggio 19

Trova il valore di y quando $x = 1.3469974$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.3469974$ nell'espressione.

$f (1.3469974) = - {(1.3469974)}^{4} + 4 {(1.3469974)}^{2} - (1.3469974) - 2$

Passaggio 19.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.1

Eleva $1.3469974$ alla potenza di $4$ .

$f (1.3469974) = - 1 \cdot 3.29205468 + 4 {(1.3469974)}^{2} - (1.3469974) - 2$

Passaggio 19.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $3.29205468$ .

$f (1.3469974) = - 3.29205468 + 4 {(1.3469974)}^{2} - (1.3469974) - 2$

Passaggio 19.2.1.3

Eleva $1.3469974$ alla potenza di $2$ .

$f (1.3469974) = - 3.29205468 + 4 \cdot 1.81440201 - (1.3469974) - 2$

Passaggio 19.2.1.4

Moltiplica $4$ per $1.81440201$ .

$f (1.3469974) = - 3.29205468 + 7.25760807 - (1.3469974) - 2$

Passaggio 19.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1.3469974$ .

$f (1.3469974) = - 3.29205468 + 7.25760807 - 1.3469974 - 2$

Passaggio 19.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.2.1

Somma $- 3.29205468$ e $7.25760807$ .

$f (1.3469974) = 3.96555338 - 1.3469974 - 2$

Passaggio 19.2.2.2

Sottrai $1.3469974$ da $3.96555338$ .

$f (1.3469974) = 2.61855598 - 2$

Passaggio 19.2.2.3

Sottrai $2$ da $2.61855598$ .

$f (1.3469974) = 0.61855598$

Passaggio 19.2.3

La risposta finale è $0.61855598$ .

$y = 0.61855598$

Passaggio 20

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = - x^{4} + 4 x^{2} - x - 2$ .

$(- 1.4729976, 3.44419206)$ è un massimo locale

$(0.12600019, - 2.06274804)$ è un minimo locale

$(1.3469974, 0.61855598)$ è un massimo locale

Passaggio 21