Calcolo Esempi

$y = {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = 2 \tan^{3} (2 x) - 1$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 \tan^{3} (2 x) - 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} {u_{1}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 \tan^{3} (2 x) - 1$ .

$\frac{1}{3} {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

Passaggio 2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

Passaggio 3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

Passaggio 4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3} {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

Passaggio 5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{3} {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

Passaggio 5.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{1}{3} {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

Passaggio 6

Differenzia.

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Passaggio 6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

Passaggio 6.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 6.2.1

$\frac{1}{3}$ e ${(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

Passaggio 6.2.2

Sposta ${(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

Passaggio 6.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \tan^{3} (2 x) - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 6.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \tan^{3} (2 x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\tan^{3} (2 x)]$ .

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 \frac{d}{d x} [\tan^{3} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \tan (2 x)$ .

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Passaggio 7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\tan (2 x)$ .

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 7.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\tan (2 x)$ .

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 (3 \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 8

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 (\tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 9

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 9.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $2 x$ .

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 \tan^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 9.2

La derivata di $\tan (u_{3})$ rispetto a $u_{3}$ è $\sec^{2} (u_{3})$ .

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 9.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 10

Differenzia.

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Passaggio 10.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 10.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (12 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 10.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (12 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 10.4

Moltiplica $12$ per $1$ .

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (12 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 10.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (12 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) + 0)$

Passaggio 10.6

Semplifica i termini.

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Passaggio 10.6.1

Somma $12 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x)$ e $0$ .

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (12 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))$

Passaggio 10.6.2

$12$ e $\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{12}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))$

Passaggio 10.6.3

$\tan^{2} (2 x)$ e $\frac{12}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{\tan^{2} (2 x) \cdot 12}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} \sec^{2} (2 x)$

Passaggio 10.6.4

$\frac{\tan^{2} (2 x) \cdot 12}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ e $\sec^{2} (2 x)$ .

$\frac{\tan^{2} (2 x) \cdot 12 \sec^{2} (2 x)}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 10.6.5

Sposta $12$ alla sinistra di $\tan^{2} (2 x)$ .

$\frac{12 \cdot \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x)}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 10.6.6

Scomponi $3$ da $12 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x)$ .

$\frac{3 (4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 11.1

Scomponi $3$ da $3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 (4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))}{3 ({(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 11.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x)}{{(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 12

Riordina i termini.

$\frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)}{{(- 1 + 2 \tan^{3} (2 x))}^{\frac{2}{3}}}$