Calcolo Esempi

$5 x^{2} - x^{3} - 2 y^{3} - y^{2} = 3 x$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (5 x^{2} - x^{3} - 2 y^{3} - y^{2}) = \frac{d}{d x} (3 x)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{2} - x^{3} - 2 y^{3} - y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$10 x - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$10 x - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$10 x - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 y^{3}]$ .

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Passaggio 2.4.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 y^{3}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$10 x - 3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $y$ .

$10 x - 3 x^{2} - 2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 2.4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$10 x - 3 x^{2} - 2 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 2.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y$ .

$10 x - 3 x^{2} - 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 2.4.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$10 x - 3 x^{2} - 2 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 2.4.4

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$10 x - 3 x^{2} - 6 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 2.5

Calcola $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Passaggio 2.5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$10 x - 3 x^{2} - 6 y^{2} y' - \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.5.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$10 x - 3 x^{2} - 6 y^{2} y' - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.5.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$10 x - 3 x^{2} - 6 y^{2} y' - (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.5.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$10 x - 3 x^{2} - 6 y^{2} y' - (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.5.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$10 x - 3 x^{2} - 6 y^{2} y' - (2 y y')$

Passaggio 2.5.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$10 x - 3 x^{2} - 6 y^{2} y' - 2 y y'$

Passaggio 2.6

Riordina i termini.

$- 3 x^{2} - 6 y^{2} y' - 2 y y' + 10 x$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- 3 x^{2} - 6 y^{2} y' - 2 y y' + 10 x = 3$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.1.1

Somma $3 x^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 6 y^{2} y' - 2 y y' + 10 x = 3 + 3 x^{2}$

Passaggio 5.1.2

Sottrai $10 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 6 y^{2} y' - 2 y y' = 3 + 3 x^{2} - 10 x$

Passaggio 5.2

Scomponi $2 y y'$ da $- 6 y^{2} y' - 2 y y'$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $2 y y'$ da $- 6 y^{2} y'$ .

$2 y y' (- 3 y) - 2 y y' = 3 + 3 x^{2} - 10 x$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $2 y y'$ da $- 2 y y'$ .

$2 y y' (- 3 y) + 2 y y' \cdot - 1 = 3 + 3 x^{2} - 10 x$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $2 y y'$ da $2 y y' (- 3 y) + 2 y y' \cdot - 1$ .

$2 y y' (- 3 y - 1) = 3 + 3 x^{2} - 10 x$

Passaggio 5.3

Dividi per $2 y (- 3 y - 1)$ ciascun termine in $2 y y' (- 3 y - 1) = 3 + 3 x^{2} - 10 x$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Dividi per $2 y (- 3 y - 1)$ ciascun termine in $2 y y' (- 3 y - 1) = 3 + 3 x^{2} - 10 x$ .

$\frac{2 y y' (- 3 y - 1)}{2 y (- 3 y - 1)} = \frac{3}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{- 10 x}{2 y (- 3 y - 1)}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y y' (- 3 y - 1)}{2 y (- 3 y - 1)} = \frac{3}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{- 10 x}{2 y (- 3 y - 1)}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y' (- 3 y - 1)}{y (- 3 y - 1)} = \frac{3}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{- 10 x}{2 y (- 3 y - 1)}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y' (- 3 y - 1)}{y (- 3 y - 1)} = \frac{3}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{- 10 x}{2 y (- 3 y - 1)}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (- 3 y - 1)}{- 3 y - 1} = \frac{3}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{- 10 x}{2 y (- 3 y - 1)}$

Passaggio 5.3.2.3

Elimina il fattore comune di $- 3 y - 1$ .

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Passaggio 5.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (- 3 y - 1)}{- 3 y - 1} = \frac{3}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{- 10 x}{2 y (- 3 y - 1)}$

Passaggio 5.3.2.3.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{3}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{- 10 x}{2 y (- 3 y - 1)}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 10$ e $2$ .

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Passaggio 5.3.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $- 10 x$ .

$y' = \frac{3}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{2 (- 5 x)}{2 y (- 3 y - 1)}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.3.3.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 y (- 3 y - 1)$ .

$y' = \frac{3}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{2 (- 5 x)}{2 (y (- 3 y - 1))}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{3}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{2 (- 5 x)}{2 (y (- 3 y - 1))}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{3}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{- 5 x}{y (- 3 y - 1)}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{3}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (- 3 y - 1)} - \frac{5 x}{y (- 3 y - 1)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2 y (- 3 y - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (- 3 y - 1)} - \frac{5 x}{y (- 3 y - 1)}$