Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} - 1}{3 \sin (- x) + 3 x}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}{lim_{x \to 0} 3 \sin (- x) + 3 x}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{- x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 \sin (- x) + 3 x}$

Passaggio 1.2.2

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} - x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 \sin (- x) + 3 x}$

Passaggio 1.2.3

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{e^{- lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 \sin (- x) + 3 x}$

Passaggio 1.2.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{e^{- lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3 \sin (- x) + 3 x}$

Passaggio 1.2.5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3 \sin (- x) + 3 x}$

Passaggio 1.2.5.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3 \sin (- x) + 3 x}$

Passaggio 1.2.5.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 3 \sin (- x) + 3 x}$

Passaggio 1.2.5.2.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 \sin (- x) + 3 x}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 \sin (- x) + lim_{x \to 0} 3 x}$

Passaggio 1.3.2

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} \sin (- x) + lim_{x \to 0} 3 x}$

Passaggio 1.3.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{0}{3 \sin (lim_{x \to 0} - x) + lim_{x \to 0} 3 x}$

Passaggio 1.3.4

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{3 \sin (- lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 3 x}$

Passaggio 1.3.5

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{3 \sin (- lim_{x \to 0} x) + 3 lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.3.6

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{3 \sin (0) + 3 lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.3.6.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{3 \sin (0) + 3 \cdot 0}$

Passaggio 1.3.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.1.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0 + 3 \cdot 0}$

Passaggio 1.3.7.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{0}{0 + 3 \cdot 0}$

Passaggio 1.3.7.1.3

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Passaggio 1.3.7.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.7.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.8

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} - 1}{3 \sin (- x) + 3 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x) + 3 x]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x) + 3 x]}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{- x} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x) + 3 x]}$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Passaggio 3.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x) + 3 x]}$

Passaggio 3.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x) + 3 x]}$

Passaggio 3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x) + 3 x]}$

Passaggio 3.3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x) + 3 x]}$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x) + 3 x]}$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x) + 3 x]}$

Passaggio 3.3.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x) + 3 x]}$

Passaggio 3.3.6

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x) + 3 x]}$

Passaggio 3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x} + 0}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x) + 3 x]}$

Passaggio 3.5

Somma $- e^{- x}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x) + 3 x]}$

Passaggio 3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 \sin (- x) + 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 \sin (- x)] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x)] + \frac{d}{d x} [3 x]}$

Passaggio 3.7

Calcola $\frac{d}{d x} [3 \sin (- x)]$ .

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Passaggio 3.7.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \sin (- x)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\sin (- x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 \frac{d}{d x} [\sin (- x)] + \frac{d}{d x} [3 x]}$

Passaggio 3.7.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = - x$ .

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Passaggio 3.7.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [3 x]}$

Passaggio 3.7.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [3 x]}$

Passaggio 3.7.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\cos (- x) \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [3 x]}$

Passaggio 3.7.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\cos (- x) (- \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [3 x]}$

Passaggio 3.7.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\cos (- x) (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [3 x]}$

Passaggio 3.7.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\cos (- x) \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [3 x]}$

Passaggio 3.7.6

Sposta $- 1$ alla sinistra di $\cos (- x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (- 1 \cos (- x)) + \frac{d}{d x} [3 x]}$

Passaggio 3.7.7

Riscrivi $- 1 \cos (- x)$ come $- \cos (- x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (- \cos (- x)) + \frac{d}{d x} [3 x]}$

Passaggio 3.7.8

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{- 3 \cos (- x) + \frac{d}{d x} [3 x]}$

Passaggio 3.8

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Passaggio 3.8.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{- 3 \cos (- x) + 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.8.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{- 3 \cos (- x) + 3 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{- 3 \cos (- x) + 3}$

Passaggio 3.9

Semplifica.

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Passaggio 3.9.1

Riordina i termini.

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 - 3 \cos (- x)}$

Passaggio 3.9.2

Poiché $\cos (- x)$ è una funzione pari, riscrivi $\cos (- x)$ come $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 - 3 \cos (x)}$

Passaggio 4

Poiché il numeratore è negativo e il denominatore $3 - 3 \cos (x)$ tende a zero ed è maggiore di zero per $x$ vicino a $0$ in entrambi i lati, la funzione decresce senza limite.

$- \infty$