Calcolo Esempi

$e^{x y} + \ln (x y) = 3$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (e^{x y} + \ln (x y)) = \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x y} + \ln (x y)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x y}] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x y}] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{x y}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Passaggio 2.2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Passaggio 2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x y$ .

$e^{x y} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$e^{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$e^{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{x y} (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x y$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 2.3.1.2

La derivata di $\ln (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x y$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{1}{x y} (x y' + y)$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{1}{x y} (x y' + y)$

Passaggio 2.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y$

Passaggio 2.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

$x$ e $\frac{1}{x y}$ .

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y$

Passaggio 2.4.3.2

$\frac{x}{x y}$ e $y'$ .

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Passaggio 2.4.3.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Passaggio 2.4.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y$

Passaggio 2.4.3.4

$\frac{1}{x y}$ e $y$ .

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Passaggio 2.4.3.5

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Passaggio 2.4.3.5.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Passaggio 2.4.4

Riordina i termini.

$e^{x y} x y' + e^{x y} y + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Passaggio 2.4.5

Riordina i fattori in $e^{x y} x y' + e^{x y} y + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$ .

$x e^{x y} y' + y e^{x y} + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Passaggio 3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$x e^{x y} y' + y e^{x y} + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, 1, y, x, 1$

Passaggio 5.1.2

Poiché $1, 1, y, x, 1$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $1, 1, 1, 1, 1$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $y^{1}, x^{1}$ .

Passaggio 5.1.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 5.1.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 5.1.5

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 5.1.6

Il fattore di $y^{1}$ è $y$ stesso.

$y^{1} = y$

$y$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 5.1.7

Il fattore di $x^{1}$ è $x$ stesso.

$x^{1} = x$

$x$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 5.1.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $y^{1}, x^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$y x$

Passaggio 5.2

Moltiplica per $y x$ ciascun termine in $x e^{x y} y' + y e^{x y} + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica ogni termine in $x e^{x y} y' + y e^{x y} + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0$ per $y x$ .

$x e^{x y} y' (y x) + y e^{x y} (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.1

Sposta $x$ .

$x \cdot x e^{x y} y' y + y e^{x y} (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} e^{x y} y' y + y e^{x y} (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1

Sposta $y$ .

$x^{2} e^{x y} y' y + y \cdot y e^{x y} x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.3.1

Scomponi $y$ da $y x$ .

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + \frac{y'}{y} (y (x)) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + y' x + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.4.1

Scomponi $x$ da $y x$ .

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + y' x + \frac{1}{x} (x y) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + y' x + \frac{1}{x} (x y) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + y' x + y = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.2

Riordina i fattori in $x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + y' x + y$ .

$x^{2} y' y e^{x y} + y^{2} x e^{x y} + y' x + y = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica $0 (y x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Moltiplica $y$ per $0$ .

$x^{2} y' y e^{x y} + y^{2} x e^{x y} + y' x + y = 0 x$

Passaggio 5.2.3.1.2

Moltiplica $0$ per $x$ .

$x^{2} y' y e^{x y} + y^{2} x e^{x y} + y' x + y = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Sottrai $y^{2} x e^{x y}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} y' y e^{x y} + y' x + y = - y^{2} x e^{x y}$

Passaggio 5.3.1.2

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} y' y e^{x y} + y' x = - y^{2} x e^{x y} - y$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $x y'$ da $x^{2} y' y e^{x y} + y' x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Scomponi $x y'$ da $x^{2} y' y e^{x y}$ .

$x y' (x y e^{x y}) + y' x = - y^{2} x e^{x y} - y$

Passaggio 5.3.2.2

Scomponi $x y'$ da $y' x$ .

$x y' (x y e^{x y}) + x y' \cdot 1 = - y^{2} x e^{x y} - y$

Passaggio 5.3.2.3

Scomponi $x y'$ da $x y' (x y e^{x y}) + x y' \cdot 1$ .

$x y' (x y e^{x y} + 1) = - y^{2} x e^{x y} - y$

Passaggio 5.3.3

Dividi per $x (x y e^{x y} + 1)$ ciascun termine in $x y' (x y e^{x y} + 1) = - y^{2} x e^{x y} - y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividi per $x (x y e^{x y} + 1)$ ciascun termine in $x y' (x y e^{x y} + 1) = - y^{2} x e^{x y} - y$ .

$\frac{x y' (x y e^{x y} + 1)}{x (x y e^{x y} + 1)} = \frac{- y^{2} x e^{x y}}{x (x y e^{x y} + 1)} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y' (x y e^{x y} + 1)}{x (x y e^{x y} + 1)} = \frac{- y^{2} x e^{x y}}{x (x y e^{x y} + 1)} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (x y e^{x y} + 1)}{x y e^{x y} + 1} = \frac{- y^{2} x e^{x y}}{x (x y e^{x y} + 1)} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $x y e^{x y} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x y e^{x y} + 1)}{x y e^{x y} + 1} = \frac{- y^{2} x e^{x y}}{x (x y e^{x y} + 1)} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- y^{2} x e^{x y}}{x (x y e^{x y} + 1)} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{- y^{2} x e^{x y}}{x (x y e^{x y} + 1)} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- y^{2} e^{x y}}{x y e^{x y} + 1} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y^{2} e^{x y}}{x y e^{x y} + 1} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y^{2} e^{x y}}{x y e^{x y} + 1} - \frac{y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Per scrivere $- \frac{y^{2} e^{x y}}{x y e^{x y} + 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2} e^{x y}}{x y e^{x y} + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x y e^{x y} + 1) x$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.3.1

Moltiplica $\frac{y^{2} e^{x y}}{x y e^{x y} + 1}$ per $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2} e^{x y} x}{(x y e^{x y} + 1) x} - \frac{y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.3.2

Riordina i fattori di $(x y e^{x y} + 1) x$ .

$y' = - \frac{y^{2} e^{x y} x}{x (x y e^{x y} + 1)} - \frac{y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- y^{2} e^{x y} x - y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.5

Scomponi $y$ da $- y^{2} e^{x y} x - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.5.1

Scomponi $y$ da $- y^{2} e^{x y} x$ .

$y' = \frac{y (- y e^{x y} x) - y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.5.2

Scomponi $y$ da $- y$ .

$y' = \frac{y (- y e^{x y} x) + y \cdot - 1}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.5.3

Scomponi $y$ da $y (- y e^{x y} x) + y \cdot - 1$ .

$y' = \frac{y (- y e^{x y} x - 1)}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.6

Riordina i termini.

$y' = \frac{y (- x y e^{x y} - 1)}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.7

Elimina il fattore comune di $- x y e^{x y} - 1$ e $x y e^{x y} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.7.1

Scomponi $- 1$ da $- x y e^{x y}$ .

$y' = \frac{y (- (x y e^{x y}) - 1)}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.7.2

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{y (- (x y e^{x y}) - 1 (1))}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.7.3

Scomponi $- 1$ da $- (x y e^{x y}) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{y (- (x y e^{x y} + 1))}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.7.4

Riscrivi $- (x y e^{x y} + 1)$ come $- 1 (x y e^{x y} + 1)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (x y e^{x y} + 1))}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.7.5

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{y (- 1 (x y e^{x y} + 1))}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.7.6

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{y \cdot (- 1)}{x}$

Passaggio 5.3.3.3.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.8.1

Sposta $- 1$ alla sinistra di $y$ .

$y' = \frac{- 1 \cdot y}{x}$

Passaggio 5.3.3.3.8.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y}{x}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$