Calcolo Esempi

$y = {(\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3})}^{2}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 3 x - 1$ e $g (x) = x^{2} + 3$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 1] - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{(x^{2} + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{(x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{(x^{2} + 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{(x^{2} + 3) (3 + 0) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.6.1

Somma $3$ e $0$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{(x^{2} + 3) \cdot 3 - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{2} + 3$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 \cdot (x^{2} + 3) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.9

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.10

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.10.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.10.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 + (- 2 (3 x) - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.4.1.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 x^{2} + 9 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.4.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.4.1.2.1

Sposta $x$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 x^{2} + 9 - 2 (3 (x \cdot x)) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.4.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 x^{2} + 9 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.4.1.3

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 x^{2} + 9 - 6 x^{2} - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.4.1.4

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 x^{2} + 9 - 6 x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.4.2

Sottrai $6 x^{2}$ da $3 x^{2}$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{- 3 x^{2} + 9 + 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.5

Riordina i termini.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{- 3 x^{2} + 2 x + 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.6

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2}$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{- (3 x^{2}) + 2 x + 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.7

Scomponi $- 1$ da $2 x$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{- (3 x^{2}) - (- 2 x) + 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.8

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2}) - (- 2 x)$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{- (3 x^{2} - 2 x) + 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.9

Riscrivi $9$ come $- 1 (- 9)$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 9)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.10

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 9)$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{- (3 x^{2} - 2 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.11

Riscrivi $- (3 x^{2} - 2 x - 9)$ come $- 1 (3 x^{2} - 2 x - 9)$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{- 1 (3 x^{2} - 2 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} (- \frac{3 x^{2} - 2 x - 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}})$

Passaggio 5

Raccogli i termini.

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Passaggio 5.1

$2$ e $\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} (- \frac{3 x^{2} - 2 x - 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}})$

Passaggio 5.2

Moltiplica $\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3}$ per $\frac{3 x^{2} - 2 x - 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (3 x - 1) (3 x^{2} - 2 x - 9)}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $x^{2} + 3$ per ${(x^{2} + 3)}^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica $x^{2} + 3$ per ${(x^{2} + 3)}^{2}$ .

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Passaggio 5.3.1.1

Eleva $x^{2} + 3$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{2 (3 x - 1) (3 x^{2} - 2 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{1} {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{2 (3 x - 1) (3 x^{2} - 2 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{1 + 2}}$

Passaggio 5.3.2

Somma $1$ e $2$ .

$- \frac{2 (3 x - 1) (3 x^{2} - 2 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$