Calcolo Esempi

$y = - \frac{1}{4} x^{- 4} - \frac{1}{16} + \frac{1}{4} x^{4}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{1}{4} x^{- 4} - \frac{1}{16} + \frac{1}{4} x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{- 4}]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $- \frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 4$ .

$- \frac{1}{4} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$4 (\frac{1}{4}) x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

Passaggio 1.2.4

$4$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

Passaggio 1.2.5

$\frac{4}{4}$ e $x^{- 5}$ .

$\frac{4 x^{- 5}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

Passaggio 1.2.6

Sposta $x^{- 5}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{4 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

Passaggio 1.2.7

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 1.2.7.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{4 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

Passaggio 1.2.7.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

Passaggio 1.3

Poiché $- \frac{1}{16}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{16}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{x^{5}} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

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Passaggio 1.4.1

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{4} x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{x^{5}} + 0 + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{5}} + 0 + \frac{1}{4} (4 x^{3})$

Passaggio 1.4.3

$4$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{x^{5}} + 0 + \frac{4}{4} x^{3}$

Passaggio 1.4.4

$\frac{4}{4}$ e $x^{3}$ .

$\frac{1}{x^{5}} + 0 + \frac{4 x^{3}}{4}$

Passaggio 1.4.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 1.4.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x^{5}} + 0 + \frac{4 x^{3}}{4}$

Passaggio 1.4.5.2

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$\frac{1}{x^{5}} + 0 + x^{3}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Somma $\frac{1}{x^{5}}$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{5}} + x^{3}$

Passaggio 1.5.2

Riordina i termini.

$f' (x) = x^{3} + \frac{1}{x^{5}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Differenzia.

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Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + \frac{1}{x^{5}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{5}}$ come ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{5}$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{5}$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$3 x^{2} - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{5}$ .

$3 x^{2} - {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$3 x^{2} - {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4})$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{5})}^{- 2}$ .

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Passaggio 2.2.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x^{2} - x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4})$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica $5$ per $- 2$ .

$3 x^{2} - x^{- 10} (5 x^{4})$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$3 x^{2} - 5 x^{- 10} x^{4}$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $x^{- 10}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.2.6.1

Sposta $x^{4}$ .

$3 x^{2} - 5 (x^{4} x^{- 10})$

Passaggio 2.2.6.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 x^{2} - 5 x^{4 - 10}$

Passaggio 2.2.6.3

Sottrai $10$ da $4$ .

$3 x^{2} - 5 x^{- 6}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x^{2} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

Passaggio 2.3.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 2.3.2.1

$- 5$ e $\frac{1}{x^{6}}$ .

$3 x^{2} + \frac{- 5}{x^{6}}$

Passaggio 2.3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = 3 x^{2} - \frac{5}{x^{6}}$